Лекция № 5

Дифференцирование функции, заданной неявно.

1. Случай одной независимой переменной. Пусть уравнение , где – дифференцируемая функция переменных и , определяет как функцию от . Тогда производная этой неявно заданной функции при условии, что , может быть найдена по формуле (1)

Пример 1. Найти , если .

2. Случай нескольких независимых переменных. Пусть уравнение , где – дифференцируемая функция переменных , и определяет как функцию независимых переменных и . Тогда, при условии что , частные производные этой неявно заданной функции могут быть найдены по формулам , (2)

Другой способ нахождения производных функции следующий: дифференцируя уравнение , получим . Отсюда можно определить , а следовательно, и .

Пример 2. Найти и , если .

Решение. 1-й способ. , , . Далее, применяем формулу (2), получим ;

.

2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим

.

Отсюда .

Производные и дифференциалы высших порядков.

Определение 1. Частная производная (если она существует) от частной производной первого порядка функции называется частной производной второго порядка.

Дифференцируя по и по , получим две частные производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:

, .

Аналогично для :

, .

Производные и называются смешанными производными, они отличаются тем, что первая получена дифференцированием функции сначала по , а затем по , вторая, наоборот, – сначала по , затем по .

Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго.

Пример 3. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Находим сначала частные производные первого порядка:

, ,

а затем частные производные второго порядка:

, ,

, .

В примере 1 смешанные производные оказались тождественными, и это не случайно, так как имеет место следующая теорема.

Теорема 1. (о равенстве смешанных производных) Если функция и ее частные производные , , , определены и непрерывны в точке и в некоторой ее окрестности, то в этой точке справедливо равенство: .

Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Пример 4. Найти частные производные второго порядка от функции .

Дифференциалы высших порядков.

Определение 2. Дифференциалом второго порядка функции называют дифференциал от дифференциала (первого порядка) этой функции .

Аналогично определяются дифференциалы функции порядка выше второго, например и, вообще, .

Если , где и – независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные 2-го порядка, то дифференциал второго порядка функции вычисляется по формуле

.

При наличии соответствующих производных справедлива символическая формула , которая формально развертывается по биномиальному закону.

Если , где аргументы и это функции одного или нескольких независимых переменных, то

.

Если и – независимые переменные, то , и формула (4) становится тождественной формуле (3).

Пример 5. Найти полные дифференциалы первого и второго порядков функции .

Для функции, заданной неявно производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (2).

Пример 6. Найти , если .

Пример 7. Найти и , если .

4