Действия с линейными преобразованиями. Произведение линейного преобразования на число.

Пусть – линейное преобразование линейного пространстваLнад полемиk– любое число из. Линейное преобразованиепроизвольному векторуставит в соответствие единственный вектор. Векторk∙. Если векторупоставить в соответствие векторk∙, то имеем преобразование пространства:

k∙=().

Это преобразование пространства называютпроизведением преобразования на числои обозначают:

()=()=

Теорема 1. Еслилинейное преобразование линейного пространстванад полеми– любое число из, тоесть линейное преобразование линейного пространства.

Теорема 2. Если– матрица линейного преобразованиялинейного пространстваLв базисе, то матрица линейного преобразованияв базисеестьkA.

Пример 1. Пустьматрица линейного преобразованиялинейного пространстванад полемв базисе=(,). Найти матрицу преобразования 2;

Решение. Матрица преобразования 2есть2A=.

Сложение и вычитание линейных преобразований.

Пусть даны линейные преобразования илинейного пространства. Еслилюбой вектор из, то=и=‑ векторы из. Если векторупоставим в соответствие единственный векториз, то получим преобразование линейного пространства. Оно называетсясуммойлинейных преобразованийии обозначается+.

Итак, по определению

(+)=+=+.

Аналогично определяется разность линейных преобразований

(–)=‑=‑..

Теорема 3. Еслии– линейные преобразования линейного пространства, то преобразования+и–линейного пространстваявляются линейными.

Теорема 4.Еслии – матрицы, соответственно, линейных преобразованийилинейного пространстваLв базисе, то матрицы+,–являются соответственно матрицами линейных преобразований+и–в том же базисе.

Пример 2.Пустьбазис линейного пространства,,– его линейные преобразования и их матрицы соответственно. Найти матрицyлинейных преобразований в базисе е:

1. 2+3;

2. 3–.

Решение.

1)2A+3B=;

2)3B–A=.

Умножение линейных преобразований.

В линейном пространстве даны линейные преобразованияи. Результат последовательного выполнения линейных преобразованийиявляется преобразованием линейного пространства. Оно называетсяпроизведениемлинейных преобразованийии обозначается

Теорема 5.Произведение линейных преобразованийилинейного пространстваявляется линейным преобразованием этого пространства.

Теорема 6.Еслии, соответственно, матрицы линейных преобразованийилинейного пространствав базисе, то матрица линейного преобразованиялинейного пространствав базисеесть.

Пример 3.Пусть,матрицы линейных преобразований соответственноилинейного пространствав базисе. Найти матрицы преобразований в базисе.

1) ;

2) ;

3) (+);

Решение.

1) .

2) .

3) .

Свойства линейных операций над матрицами

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.

Для любых матриц  одинаковых размеров и любых чисел  справедливы равенства:

1.  (коммутативность сложения);

2.  (ассоциативность сложения);

3. существует нулевая матрица  (тех же размеров, что и ): 

4. существует матрица , противоположная матрице 

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

№28

  Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 

     Ненулевой вектор  называется собственным вектором линейного оператора , если  ( для комплексного ), такое, что  Число  называется собственным числом (собственным значением) оператора f, соответствующим этому собственному вектору.

     Если в некотором базисе оператор f имеет матрицу А и в том же базисе вектор  имеет координатный столбец X, то или 

     Собственные числа  линейного оператора  - корни характеристического уравнения , где  - матрица оператора f,  - символ Кронекера.

     Для каждого собственного значения  соответствующие собственные векторы могут быть найдены из матричного уравнения  или соответствующей ему системы линейных уравнений

     Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора. Матрица линейного оператора в этом базисе имеет вид

где  - соответствующие собственные значения.

№29

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и z из L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α·x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.