Линейные подпространства

Рассмотрим некоторое подмножество X₁ линейного пространства X , т.е. X₁ Н X .

Определение. Подмножество X₁ линейного пространства X называется линейным подпространством, если для любых векторов x, y О X₁ и любого числа α :

x + y О X₁ ;

αx О X₁ .

Рассмотрим два линейных подпространства X₁ и X₂ линейного пространства X .

Если любой вектор x О X может быть единственным образом представлен в виде x = x₁ + x₂ , где x₁ О X₁ и x₂ О X₂ , то говорят, что пространство X разложено впрямую сумму подпространств X₁ и X₂ .

Прямая сумма обозначается X = X₁ + X₂ .

Любое линейное пространство может быть разложено в прямую сумму нескольких подпространств. В частности, разложение вектора по базису связано с разложением n–мерного пространства в прямую сумму n одномерных подпространств.

Я НЕ НАШЕЛ «ПОДПРОСТРАНСТВА ПРОСТРАНСТВА R3»

№26

Матрица линейного преобразования

В  примере 19.4 было показано, что преобразование  -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть   --  -мерное линейное пространство, в котором задан базис  ,   -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор  . Пусть   -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора  обозначим  .

Запишем разложение вектора  по базису пространства  . Для образа этого вектора получим

(19.2)

Векторы  имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их  ,  , ...,  соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя  предложение 14.3, изменим порядок суммирования

Это равенство означает, что  -той координатой вектора  служит  .

Составим матрицу  из координатных столбцов векторов  , ..., 

Вычислим произведение матрицы  на столбец 

Мы видим, что  -ый элемент столбца совпадает с  -ой координатой вектора  . Поэтому

(19.3)

Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица  называется матрицей линейного преобразования  . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

 Пример 19.5   Найдем матрицу линейного преобразования  из  примера 19.1.

Выберем какой-нибудь базис  . Тогда

Следовательно, первый столбец матрицы  имеет вид  . Аналогично

Второй столбец матрицы  имеет вид  . В итоге

        

        Пример 19.6   Найдем матрицу линейного преобразования  из  примера 19.2. Угол  возьмем равным  . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базисi, j.

Из рисунка 19.7 видно, что вектор  имеет координаты  и  .

Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота

Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид  . Координаты образа второго базисного вектора равны  и  , его координатный столбец имеет вид  . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол  имеет вид

№26