III. Определение коэффициента жесткости пружины методом колебаний Графический метод

1. По результатам проведенных измерений построить проходящий через начало координат график зависимости квадрата периода колебаний

от массыm,предварительно рассчитав, для каждого значения m.Выбрав одну из полученных в эксперименте точек, лежащую на усредненной прямой, рассчитать коэффициент жесткости пружины по формуле

.

2. Оценить погрешность полученного результата. В предположении, что ошибка в определении числа колебаний отсутствовала, эту погрешность можно рассчитать по формуле

Ошибка определения времени 10 колебаний определяется как

.

Систематическую погрешность определения времени , связанную с конечной скоростью реакции человека, можно принять равной 0,1 с(приборной ошибкой в нашем случае можно пренебречь по сравнению с этой величиной).

Случайную ошибку следует рассчитать по методу Стьюдента:

Для числа колебаний n=4и доверительной вероятностиP=0,95=3,2Окончательный результат записать в таблицу 2. Сравнить полученное значение коэффициента жесткости пружины с результатом, полученным ранее.

Контрольные вопросы

1. Какие деформации называются упругими? Сформулируйте закон Гука.

2. Какие колебания называются свободными?

3. Какой функцией описываются гармонические колебания?

4. Составьте дифференциальное уравнение колебаний груза на пружине. Какой вид имеет решение этого уравнения?

5. Получите формулу для периода колебаний пружинного маятника.

6. Чем можно объяснить различие в значениях коэффициента жесткости, полученных разными методами?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики.—М.: Высш. шк., 1989.

2. Савельев И.В. Курс физики.—М.: Наука, 1989—Т. 2.

3. Большова К.М., Пустовалов Г.Е. Краткий курс общей физики.-М: Изд.МГУ, 1982.

Работа 5

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы. Определение момента инерции физического маятника по периоду его малых колебаний и приведенной длине.

Введение

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке. Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, т. е. такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведенной длиной физического маятника.

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 3 точка О— след горизонтальной оси вращения, точка В — центр масс физического маятника. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции тела и его центр масс совпадают.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

(1)

где m—масса физического маятника, d—расстояние от оси вращения до центра масс маятника,—угловое отклонение тела, отсчитываемое от положения равновесия. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. При малыхугловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого связано с направлением поворота тела из положения равновесия в заданное правилом правого винта.

При малых углах можно принятьесливыражено в радианах, и записать формулу (1) следующим образом

(1à)

Учитывая, что векторы иантипараллельны, следует величинам проекций вращающего момента и углового перемещения на ось вращения приписать противоположные знаки. Тогда формула (1а) примет вид

(2)

Используем основной закон динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси, записав его в проекциях на ось вращения:

(3)

где J — момент инерции тела относительно оси вращения, а—угловое ускорение, причем

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим уравнение движения маятника

(4)

Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

(5)

ãäå àèпостоянные, определяемые начальными условиями.

Величины и называют соответственно амплитудой и фазой колебания, а₀ начальной фазой. Уравнение (5) является уравнением гармонического колебательного движения, а величина₀циклической собственной частотой колебания. По истечении времени фаза получает приращение, а тело возвращается в исходное положение с сохранением направления движения. ВеличинаTназывается периодом колебания. Таким образом, период колебания физического маятника определяется формулой

(6)

Известно, что период колебаний математического маятника записывается в виде

Сравнивая эту формулу с формулой (6), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника

(7)

Это и есть формула приведенной длины физического маятника.