III. Определение коэффициента жесткости пружины методом колебаний Графический метод

1. По результатам проведенных измерений построить проходящий через начало координат график зависимости квадрата периода колебании от массы m, предварительно рассчитав , для каждого значения m. Выбрав одну из полученных в эксперименте точек, лежащую на усредненной прямой, рассчитать коэффициент жесткости пружины по формуле

2. Оценить погрешность полученного результата. В пред­положении, что ошибка в определении числа колебаний отсут­ствовала, эту погрешность можно рассчитать по формуле

.

Ошибка определения времени 10 колебаний определяется как

.

Систематическую погрешность определения времени , связанную с конечной скоростью реакции человека, можно принять равной 0,1 с (т. к. непосредственно приборной ошибкой в нашем случае можно пренебречь по сравнению с этой величиной).

Случайную ошибку следует рассчитать по методу Стьюдента:

.

Для числа колебаний n=4 и доверительной вероятности P=0,95 =3,2Окончательный результат записать в таблицу2. Сравнить полученное значение коэффициента жесткости пружины с результатом, полученным ранее.

Расчет коэффициента жесткости с использованием эвм

(задание для УИРС)

Из теории пружинного маятника следует (см. формулу 5), что график зависимости представляет прямую, проходящую через начало координат. Для построения этой прямой наилучшим образом следует воспользоваться методом наименьших квадратов (МНК). Специальная программа для ЭВМ позволит рассчитать и стандартное отклонение.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие деформации называются упругими? Сформулируйте закон Гука.

2. Какие колебания называются свободными?

3. Составьте дифференциальное уравнение колебаний груза на пружине. Какой вид имеет решение этого уравнения?

4. Получите формулу для периода колебаний пружинного маятника.

5. Чем можно объяснить различие в значениях коэффициента жесткости, полученных разными методами?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. Курс физики,М.: Высш. шк., 2000.

2.И. В. Савельев. Курс физики. М.: Наука 1998 Т. 2.

3.Методические указания к вводному занятию по физическому практи - куму. – М.: Изд. МИИТ, 1995.

Работа 5

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

Цель работы. Определение момента инерции физического маятника по периоду его малых колебании и приведенной длине.

Введение

Физическим маятником называется любое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, т. е. такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведенной длиной физического маятника.

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 4 точка О — обозначает горизонтальную ось вращения, точка В — центр тяжести физического маятника. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции тела и его центр тяжести совпадают.

Относительно оси вращения сила тяжести создает вращающий момент, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия. Численное значение этого момента определяется соотношением

(1)

где m—масса физического маятника, d—кратчайшее расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника, —угловое перемещение тела, отсчитываемое от положения равновесия. При малых угловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого связано с направлением поворота тела из положения равновесия в заданное правилом правого винта.

Учитывая, что векторы и антипараллельны, следует величинам проекций вращающего момента и углового перемещения на ось вращения приписать противоположные знаки. Тогда формула (1) примет вид

. (1а)

При малых углах можно принять , если выражено в радианах, и записать формулу (1а) следующим образом

. (2)

Используем основной закон динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси, записав его в проекциях на ось вращения:

(3)

где J — момент инерции тела относительно оси вращения, а—угловое ускорение, причем .

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим уравнение движения маятника

. (4)

Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

, (5)

где , а и —постоянные, определяемые начальными условиями.

Величины и называют соответственно амплитудой и фазой колебания, а ₀—начальной фазой. Уравнение (5) является уравнением гармонического колебательного движения, а величина ₀ собственной циклической частотой колебания. По истечении времени фаза получает приращение, а тело возвращается в исходное положение с сохранением направления движения. Величина

T₀ называется собственным периодом колебания. Таким образом, период колебания физического маятника определяется формулой

(6)

Известно, что период колебаний математического маятника записывается в виде

.

Сравнивая эту формулу с формулой (6), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника

. (7)

Это и есть формула приведенной длины физического маятника.