4.1. Сложение
Задача 10. Сложить двоичные числа (111)2 и (101)2 .
Решение: 1 1
+
101 = (5)10
1100 = (12)10
Начинаем складывать с крайних правых разрядов. 12+12 = 102 , пишем 0, а 1 переносим в следующий разряд (и ставим 1 над ним). В следующем разряде 12+ 02 + 12 = 102. Также 0 пишем, а 1 переносим в последний левый разряд , где 12+ 12 + 12 = 112
Проверка: (7)10 + (5)10 = (12)10
Задача 11. Сложить восьмеричные числа (127)8 и (34)8 .
Решение: 1
+
34 = (28)10
163 = (115)10
В правом разряде имеем: (7)8 + (4)8 = (7)8 + (1)8+ (3)8 = (10)8+ (3)8.
Пишем 3 и переносим 1 в следующий разряд.
Проверка: (87)10 + (28)10 = (115)10
4.2. Вычитание
Задача 12. Вычесть из двоичного числа (1101)2 число (111)2 .
Р
_
1101 = (13)10
111 = (7)10
110 = (6)10
Начинаем вычитать с крайнего правого разряда: 12 – 12 = 02. В следующем разряде уменьшаемое меньше вычитаемого, следовательно, надо занять 102 из соседнего старшего разряда. Имеем: 102 – 12 = 12. Далее, аналогично делая заем, получаем 12.
Проверка: (13)10 (7)10 = (6)10
Задача 13. Вычислить разность шестнадцатеричных чисел: (A12)16 и (1F)16.
Р
_
A12 = (2578)10
1F
=(32)10
9F3= (2547)10
Для вычитания цифр правого разряда необходимо занять 1016 из следующего разряда. Имеем: 1016 216 – F16 = 16 + 2 – 15 = 3. В следующем разряде снова необходим заем: 1016 – 116 = F16. И в последнем разряде остается (с учетом занятой «десятки») А16 - 116 .
Проверка: (2578)10 (31)10 = (2547)10
4.3. Умножение
При умножении необходимо пользоваться таблицей умножения, составленной для данной конкретной системы счисления. Составление соответствующей таблицы умножения основано на замене умножения многократным сложением, как, например, в десятичной системе
(3)10 (4)10 = (3)10 + (3)10 + (3)10 + (3)10 = (12)10 .
Для умножения на число, кратное степени основания, надо:
а) для целых чисел – дописать справа количество нулей, равное этой степени;
б) для правильных дробей и смешанных чисел – перенести запятую вправо на количество разрядов, равное степени основания.
Это правило следует из того, что основание системы счисления в этой системе равно 10, т.е. (d)10= (10)d.
4.3.1. Умножение в двоичной системе.
Таблица умножения для двоичной системы имеет вид:
0 0 = 0
0 1 = 0
1 0 = 0
1 1 = 1
Задача 12: Перемножить двоичные числа (111)2 и (101)2 .
Р
111 = (7)10
101 = (5)10
+
111
100011 = (35)10
Проверка: (7)10 (5)10 = (35)10
4.3.2. Умножение в восьмеричной системе.
Составим таблицу умножения для восьмеричной системы.
-
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61
Задача 13: Перемножить восьмеричные числа (25)8 и (7)8 .
Р
25
7
223
Находим по таблице умножения , что (5)8 (7)8 = (43)8. Записываем 3, а 4 запоминаем и переносим в следующий разряд. Далее, (2)8 (7)8 = = (16)8 + (из памяти) (4)8 = (22)8. В результате получаем (223)8.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Что такое позиционная система счисления?
Что такое непозиционная система счисления?
Чем отличаются позиционные и непозиционные системы счисления?
Что такое основание системы счисления?
В какой системе счисления записано число С3А?
(Ответ: в любой с основанием не менее 13)
Чему равно произведение 2323?
Дан пример: 120 + 131 = 311. В какой системе счисления выполнена операция сложения? Выберите правильный ответ:
а) в семеричной; б) в пятеричной;
в) в четверичной; г) такой системы нет.
Как перевести целое число из десятичной системы в двоичную? Ответ обоснуйте.
Как перевести правильную дробь из десятичной системы в восьмеричную? Ответ обоснуйте.
Если мы переводим конечную десятичную дробь в двоичную систему счисления, значит ли это, что результатом будет тоже конечная дробь?