0  Ai , bi  d - 1 .

Пример: (десятичная система, d = 10)

(249,25)₁₀ = 210² + 410¹ + 910⁰ + 210^-1 + 510^-2 .

Замечание: обозначение (…)_d указывает на то, что в число в круглых скобках записано в системе счисления с основанием d.

2.1. Двоичная система счисления

Это основная система счисления, в которой осуществляются арифметические и логические преобразования информации в устройствах ЭВМ. Схематично ЭВМ можно представить в виде набора электронных элементов, которые могут находиться только в двух состояниях: «включено» и «выключено». Состояниям выключателя, в которых он проводит или не проводит ток, приписывают соответственно символы 1 или 0. Совокупность состояний, характерная для некоторого набора ключей в некоторый момент времени, может рассматриваться как последовательность нулей и единиц, при помощи которой можно закодировать число, букву или какой-нибудь другой символ. Каждый разряд двоичной записи числа называется битом(сокращение английских словbinary digit, что означает «двоичная единица»).

Для двоичной системы счисления d = 2 и a_i = 0, 1 .

2.2. Шестнадцатеричная система счисления

Эта система имеет основание d = 16 и a_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F .При таком изображении цифр в шестнадцатеричной системе счисления буква A изображает десять, B - одиннадцать, C - двенадцать, D - тринадцать, E - четырнадцать и F - пятнадцать. Эта система применяется в вычислительной технике для сокращения записи двоичных чисел, или как средство кодирования двоичных чисел и является компромиссом между тем, что удобно машине, и тем, что удобно пользователю. Так как наиболее распространенная единица информации – это байт (8 бит), то шестнадцатеричная система может легко представить все биты в байте с помощью всего 2 шестнадцатеричных цифр, каждая из которых обозначает 4 из 8 битов одного байта.

Пример: двоичное число (10011010,11111111)₂ можно записать в шестнадцатеричном представлении как (9А,FF)₁₆ .

2.3. Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система имеет основание d = 8 и a_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . Она служит для тех же целей, что и шестнадцатеричная. В настоящее время восьмеричная система широко используется в операционной системе Unix.

В Таблице 1 Приложения приведены способы изображения чисел десятичной системы в соответственно двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах. В Приложении также приведена таблица степеней чисел 2, 8 и 16 (Таблица 2), которую желательно запомнить.

3. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в любую другую позиционную систему

3.1. Перевод чисел в десятичную систему счисления

Любое число из системы счисления с произвольным основанием может быть переведено в десятичную при помощи разложения по степеням основания системы по формуле (2). При этом как для основания системы, так и для весовых коэффициентов надо брать их десятичные эквиваленты.

Задача 1: Перевести в 10-ю систему счисления двоичное число

(1000101)₂ .

Решение.

Для решения запишем над коэффициентами числа соответствующие степени основания и воспользуемся формулой (2).

6 5 4 3 2 1 0

Задача 2: Перевести в 10-ю систему счисления восьмеричное число (726,15)₈ и шестнадцатеричное число (10А.F)₁₆ .

Решение.