- 20 -

Введение

В повседневной жизни мы используем десятичную систему счисления, в которой имеется десять базовых цифр от 0 до 9, на основе которых можно построить все остальные числа. Но эта система не является единственной, пример тому – наименования числительных (в давние времена), когда люди считали дюжинами, т.е. использовали 12 различных знаков для записи числа. Одним из главных достоинств этой системы было удобство деления на 2, 3, 4 и 6. Если в русском языке числа 11 и 12 – это 1+10 и 2+10 соответственно, то до сих пор в английском и немецком языках для них существуют специальные слова: 11 – elevenиelf, а 12 –twelveиzwölf. А в древнем Вавилоне астрономы использовали систему счисления с основанием 60, и, по-видимому именно в этом обстоятельстве следует искать объяснение того факта, что час и угловой градус разделены на 60 минут. С математической точки зрения для записи одного и того же числа можно использовать любое (но не меньшее двух) количество символов.

Изучение различных систем счисления, которые используются в компьютерах, и арифметических операций над ними очень важно для понимания того, каким образом производится обработка информации в вычислительных машинах.

1. Основные понятия

Система счисления - совокупность приемов и правил для изображения чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционной системой счисленияназывается такая, в которой количественное значение каждой цифры не зависит от занимаемой ею позиции (места) в изображении числа, а определяется лишь самим символом (цифрой). Примером такой системы является римская система счисления, в которой:

I - 1 , V - 5 , X - 10 , L - 50 , C - 100 , D - 500 , M - 1000

Позиционной системой счисления называется такая система, в которой количественное значение каждой цифры зависит от ее позиции (места) в числе. Любое число в позиционной системе не считая крайних нулей, можно представить единственным образом. Крайняя слева цифра называется цифрой старшего разряда, крайняя справа – цифрой младшего разряда. Позиции каждой цифры в числе присвоен определенный вес d ^i-1 , где i – номер разряда.

Пример: 1) Число 373, представленное в десятичной системе счисления, имеет в младшем и самом старшем разрядах цифру 3. Цифра 3 в старшем разряде имеет вес в 100 раз больше, чем в младшем разряде.

2) Число ХХХ, в римской системе счисления означающее 30, во всех разрядах имеет одинаковые цифры Х, а результат получается путем выполнения арифметических действий (в данном случае сложения) над ними:

ХХХ = Х + Х + Х = 10 + 10 +10 = 30.

Основанием системы счисления d называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной позиционной системе счисления. За основание d можно принять любое число, большее единицы (так как в этом случае в ней был бы один символ 0, который может указать позицию цифры, но количественного значения не имеет).

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

В позиционной системе счисления любое число, имеющее вид

A_d =  a_n a_n-1 a_n-2 … a₁ a₀ ,b_-1 … b_{- m} , (1)

где n, m - целые числа (количество разрядов в целой и дробной части

числа);a _i - цифра i-го разряда целой части; b _i - цифра i-го разряда дробной части, d - основание системы; i – порядковый номер разряда,

может быть представлено в виде следующей суммы:

A_d = a_n d ⁿ + a_n-1 d ^n-1 + …+ a₁ d ¹ + a₀ d ⁰ +

+ b-₁ d ^-1 + …+b_{- m} d ^–m (2)

Цифры a_i , b_i - необходимые для построения системы счисления, должны удовлетворять неравенству