Федеральное государственное бюджетное

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра «Физика»

ФИЗИКА

ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 62

Москва  2013

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра «Физика»

ФИЗИКА

ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА-ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний для студентов специальностей и направлений ИПСС, ИТТСУ, ИУИТ, ИЭФ, вечернего факультета

Под редакцией проф. В.А. Никитенко

Москва  2013

УДК 53(075.8)

K-59

Кокин С.М., Ляпушкин Н.Н.. Физика. Проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера методом вращательных колебаний. Методические указания к лабораторной работе 62 / Под ред. проф. В.А. Никитенко. – М.: МИИТ, 2013. –16 с.

Методические указания содержат описания лабораторных работ по физике, предназначенных для студентов первого и второго курсов институтов ИПСС, ИТТСУ, ИУИТ, ИЭФ, вечернего факультета.

©МИИТ, 2013

Работа 62

Проверка теоремы гюйгенса-штейнера методом вращательных колебаний

Цель работы. Определение моментов инерции твердых тел относительно оси, не совпадающей с центром масс; проверка теоремы Гюйгенса Штейнера.

Введение

Напомним, что для описания вращательного движения в соответствующем разделе механики используются следующие понятия:

• Момент инерции

Моментом инерции I материальной точки относительно выбранной оси является величина равная произведению массы m этой точки на квадрат расстояния r от точки до оси вращения:

I  mr². (1)

Моментом инерции системы материальных точек относительно выбранной оси называется алгебраическая сумма моментов инерции всех N точек, входящих в систему, относительно этой оси (рис. 1а):

I   . (2)

Тело массой m можно представить в виде совокупности материальных точек массой dm каждая (рис. 1б), поэтому для момента инерции тела можно записать:

I  . (3)

Из соотношений (1) – (3) следует, что момент инерции – величина аддитивная, то есть момент инерции I_СИСТ системы, состоящей из нескольких тел, равен сумме моментов инерции этих тел относительно выбранной оси:

I_СИСТ  I₁  I₂  …  I_N. (4)

В частности, момент инерции сплошного однородного диска (цилиндра) массой m и радиусом r равен 0,5mr².

Физический смысл момента инерции твердого тела: I – это мера инертности тела при вращательном движении (см. далее основной закон динамики вращательного движения).

• Момент импульса

Моментом импульса материальной точки относительно некоторого начала отсчёта О является величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого из О к материальной точке, на её импульс :

[]. (5)

По величине L  rpsin (здесь  – угол между векторами и ); направлениеопределяется по правилу левой руки (рис. 2).

Момент импульса системы материальных точек относительно некоторого начала отсчёта О равен сумме моментов импульса этих точек:

 …. (6)

Можно показать, что для момента импульса абсолютно твёрдого тела, вращающегося с угловой скоростью относительно некоторой оси¹и имеющего момент инерцииI относительно этой оси, справедливо соотношение:

I. (7)

• Момент силы

Моментом силы относительно некоторого начала отсчёта О называется вектор вида

[]. (8)

Здесь - радиус-вектор, проведённый из О к точке приложения силы . По величине M  rFsin ( – угол между векторами и ); направлениеопределяется по правилу левой руки (рис. 3).

• Основной закон динамики вращательного движения

Сумма моментов сил, действующих на систему тел, равна скорости изменения её (системы) момента импульса:

. (9)

Для вращающегося абсолютно твёрдого тела с учётом соотношения (7) и определения²углового ускорения формула основного закона динамики вращательного движения принимает вид:

I. (10)

Здесь I – момент инерции тела относительно оси вращения.

Формула (9) является аналогом формулы второго закона Ньютона для системы тел при её поступательном движении: сумма всех сил, действующих на систему, равна скорости изменения её (системы) импульса:

(11)

В свою очередь, формула (10) является аналогом формулы второго закона Ньютона для поступательного движения тела постоянной массы: сумма всех сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на его ускорение:

m (12)

Сравнение формул (10) и (12) говорит о том, что точно так же, как масса в случае поступательного движения тела является мерой его инертных свойств, в случае вращательного движения мерой инертных свойств тела является его момент инерции I относительно оси вращения. Именно поэтому задача вычисления момента инерции приобретает важное значение во всех случаях, в которых необходимо описать поведение вращающихся объектов. В ряде случаев решить эту задачу помогает теорема Гюйгенса-Штейнера (или просто «теорема Штейнера»).

• Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями d (см. рис. 1.в):

I  I₀  md². (13)

Целью настоящей работы как раз и является экспериментальная проверка справедливости соотношения (13).