2.2. Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую

Существует два основных способа перевода чисел из одной системы счисления в другую.

1) Случай для перевода, когда система счисления является числом 2 в степени целого числа, например:

8 = 2³

16 = 2⁴.

2) Общий случай перевода для любых систем счисления.

2.2.1. Случай, когда система счисления является целой степенью числа 2

Рассмотрим правила преобразования восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичные и наоборот. Эти правила исключительно просты, т.к. основания восьмеричной и шестнадцатеричной систем есть целые степени числа два: 8 = 2³, 16 = 2⁴.

Для перевода восьмеричного (шестнадцатеричного) числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом, при этом отбрасывают ненужные нули в старших разрядах,

например

( 3 0 5 . 4 )₈ = (11000101.100)₂;

011 000 101 100

( 7 B 2 . E )₁₆ = (11110110010.1110)₂.

0111 1011 0010 1110

Для перехода от двоичной к восьмеричной (или шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем группу из трех (четырех) разрядов заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Приведем примеры:

1) перевод двоичного числа 1101111001.1101

в восьмеричное:

001 101 111 001 . 110 100 = (1571.64)₈;

1 5 7 1 6 4

2) перевод двоичного числа 11111111011.100111

в шестнадцатеричное:

0111 1111 1011 . 1001 1100 = (7FB.9C)_16.

7 F B 9 C

В настоящее время в большинстве ЭВМ используется двоичная система и двоичный алфавит для представления и хранения чисел, команд и другой информации, а также при выполнении арифметических и логических операций.

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы применяются в текстах программ для более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов. Кроме того, эти системы применяются в ЭВМ при некоторых формах представления чисел.

Рис.10.

Таблица представления восьмеричных и

шестнадцатеричных цифр в двоичном коде.

2.2.2. Общий случай перевода

Общие правила перевода чисел из десятичной системы счисления в другую приведены ниже

1) Для целых чисел.

Делим число на основание той системы счисления, в которую переводим данное число. В качестве остатка получаем последнюю цифру искомого числа в новой системе счисления. Далее делим частное на основание новой системы счисления. Остаток от деления является следующей с конца (предпоследней) цифрой искомого числа в новой системе счисления.

Пример.

а) Исходное число (241)₁₀ б) Исходное число (241)₁₀

перевести перевести

в шестнадцатеричную систему в восьмеричную систему

счисления. (X)₁₆ = ? счисления. (X)₈ = ?

2) Для дробной части.

Производится умножение данного числа на число, соответствующее новой системе счисления. При этом цифра, которая соответствует целой части полученного произведения, становится первой цифрой искомого числа в новой системе счисления. Далее дробная часть результата умножается на число, соответствующее новой системе счисления, и новая цифра целой части произведения становится второй и т.д. Необходимо сохранять точность переводимого и получаемого числа.

Пример.

а) Исходное число (0,45)₁₀ б) Исходное число (0,45)₁₀

перевести в перевести в шестнадцатеричную восьмеричную

систему счисления. (X)₁₆ = ? систему счисления. (X)₈ = ?

Для перевода чисел из любой системы счисления в любую другую следует предварительно перевести заданное число в десятичную систему счисления.

Пример:

Исходное число (41.32)₅ перевести в десятичную систему счисления (Х)₁₀ = ?

(41.32)₅= 4*5¹ + 1*5⁰+ 3*5^-1+ 2*5^-2= (25*(3/5+2/25))₁₀ = (25.68)₁₀