4. Линейные пространства.

4.1. Что называется линейным пространством? Приведите примеры линейных пространств.

4.2. Являются ли линейными пространствами:

а) множество геометрических радиус-векторов, оканчивающихся на данной плоскости;

б) множество всех сходящихся последовательностей; последовательностей, сходящихся к числу а; расходящихся последовательностей;

в) множество всех функций, дифференцируемых на интервале (a,b);

г) множество многочленов 3-й степени; степени не выше 3;

д*) множество всех положительных функций с операциями “сложения”: f(t)g(t) и “умножения на число”:f(t)^. Объясните результаты.

4.3. Что такое линейное подпространство? Являются ли линейными подпространствами соответствующих линейных пространств множества:

а) векторов из , у которых сумма координат равнаа; координаты с четными номерами совпадают; координатыцелые числа;

б) радиус-векторов плоскости, оканчивающихся в I четверти; в I или III четвертях;

в) всех функций, непрерывных на отрезке [a,b] и равных нулю на концах отрезка;

г) всех симметричных матриц n-го порядка?

4.4. Что называется линейной оболочкой системы векторов? Является ли она подпространством? Почему?

4.5. Дайте определение линейной зависимости системы векторов. Каков критерий линейной зависимости системы, состоящей из одного вектора; из двух векторов? Объясните свой ответ. Сформулируйте общий критерий линейной зависимости системы векторов.

4.6. Верно ли утверждение: если любые два вектора системы из n> 2 векторов линейно независимы, то и вся система линейно независима. Почему?

4.7. Верно ли утверждение: если система содержит вектор, который не выражается линейно через остальные векторы системы, то она линейно независима. Ответ обоснуйте.

4.8. Каков геометрический смысл линейной зависимости системы 2-х векторов; 3-х векторов? Существуют ли линейно независимые системы из 4-х и более геометрических векторов; а линейно зависимые?

4.9. Что такое ранг системы векторов, что такое максимальная линейно независимая подсистема? Как связаны ранги двух систем векторов, одна из которых линейно выражается через другую? Что происходит с рангом системы векторов при выполнении элементарных преобразований?

4.10. Что называется базисом n-мерного линейного пространства? Приведите примеры. Как определяются координаты вектора в данном базисе? Как выражаются линейные операции над векторами в координатах?

4.11. Что такое полная система векторов в линейном пространстве? Сформулируйте теорему об эквивалентном описании базиса как линейно независимой полной системы векторов.

4.12. Что является базисом линейной оболочки системы векторов и какова ее размерность?

4.13. Привести пример одномерного и двухмерного подпространств в пространстве: а) R³; б)М₂₃; в)P₃.

Типовой расчет №2 Теоретические упражнения

1. Доказать утверждения о связи решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений:

а) разность двух решений неоднородной системы является решением однородной системы;

б) сумма решений неоднородной и однородной систем является решением неоднородной системы;

в) общее решение неоднородной системы имеет вид Х=Х₀ +Х_ч, гдеХ_ччастное решение неоднородной системы,Х₀общее решение однородной системы;

г*) каков геометрический смысл последнего утверждения для системы уравнений с тремя неизвестными?

2. Доказать, что для любых различных чисел х₁,х₂,х₃и любых чиселy₁,y₂,y₃существует, причем единственный, многочленy=f(x) степени не больше 2, для которогоf(x_i) =y_i,i= 1, 2, 3. Когда степень этого многочлена меньше 2, равна 1, равна 0?

3. Пусть Апрямоугольная матрица. Докажите, что r(A)=1A=BC, гдеВвектор-столбец,Свектор-строка (r(А)ранг матрицыА;В,Сненулевые).

4. Пусть Апрямоугольная матрица. Докажите, что всякое элементарное преобразование строк матрицыАможно представить в виде умножения матрицыАслева на некоторую матрицуХ, а всякое элементарное преобразование столбцов матрицыАв виде умножения матрицыАсправа на некоторую матрицуY.

5. Действие оператора вn-мерном пространстве задается формулой преобразования координат векторов в некотором базисе:

.

Доказать, что линейный оператор и найти его матрицу в этом базисе.

6. Пусть линейный оператор. Доказать, что еслилинейно зависимая система, то систематоже линейно зависима. Верно ли обратное?

7. Доказать, что матрицы оператора в двух разных базисах совпадают тогда и только тогда, когда матрица оператора в одном базисе перестановочна с матрицей перехода от этого базиса ко второму.

8. Является ли оператор дифференцирования невырожденным в линейном пространстве L: а)L=P_n;

б) L = L[cost, sint]?

9*. В пространстве всех многочленов заданы операторы и:

;

.

Доказать линейность операторов и проверить, что

.

10. Пусть собственные векторы оператора, отвечающие различным собственным значениям. Доказать, что векторне является собственным вектором этого оператора.

11. Матрица Аудовлетворяет условию. Докажите, что всякая подобная ей матрица обладает тем же свойством. Что можно сказать о собственных числах матрицыА? Приведите пример такой недиагональной матрицы.

12. Ненулевая матрица Аудовлетворяет условию. Показать, что любая подобная ей матрица удовлетворяет этому условию. Диагонализуема ли матрицаА? Каковы ее собственные значения? Привести пример такой матрицы.

13. Функция задается через координаты векторов в некотором базисеn-мерного пространства по формуле:

.

Доказать, что билинейная форма; найти ее матрицу в этом базисе.

14. Доказать, что симметричная билинейная форма однозначно восстанавливается по порожденной ею квадратичной формепо формуле:

.

15. Доказать, что если ненулевые векторы евклидова пространства попарно ортогональны, то они линейно независимы.

16. Доказать, что в евклидовом пространстве справедливо неравенство треугольника: . Когда оно превращается в равенство?

17*. Доказать, что если линейный оператор вn-мерном пространстве,

имеющий nразличных собственных значений, и, тообладает базисом из собственных векторов.

18*. Пусть линейный оператор удовлетворяет условию. Доказать, чтообратим, и выразитьчерез.

19*. Пусть Сневырожденная матрица. Доказать, что квадратичная форма, заданная в некотором базисе матрицейВ=С^ТС(см. упр.10), положительно определена.

20*. Пусть илинейные операторы в конечномерном пространствеLтакие, что. Доказать, чтообратим, и найти. (Указание: вопрос сводится к аналогичному вопросу для квадратных матриц.) Верно ли аналогичное утверждение в бесконечномерном пространстве?