3.3. Частотные критерии устойчивости

3.3.1. Критерий устойчивости Михайлова

Этот критерий устойчивости, сформулированный в 1938 г. русским ученым А.В. Михайловым, позволяет судить об устойчивости системы на основании рассмотрения векторной кривой, называемой кривой (годографом) Михайлова.

Пусть дано характеристическое уравнение системы:

.

Если подставить в это выражение p = jω, то получится уравнение комплексного вектора:

.

Конец этого вектора при изменении ω от 0 до  опишет некоторую кривую, называемую кривой (годографом) Михайлова. Кривая Михайлова начинается на вещественной оси при ω = 0 в точке [Х(0) = а_n, jV = 0] и заканчивается в n-ом квадранте (при ω = ), если отсчет квадрантов вести против часовой стрелки. В n-ом квадранте кривая Михайлова уходит в бесконечность.

Чтобы построить кривую Михайлова, необходимо в выражении D(jω) выделить действительную и мнимую части. Далее задаваясь различными значениями необходимо найти точки:

[X(0), jV(0)]; [X(ω₁), jV(ω₁)]; [X(ω₂), jV(ω₂)]; … и т.д.

По этим точкам и строят на комплексной плоскости кривую Михайлова.

С

Рисунок 24. Кривые Михайлова для систем различного порядка

огласно критерию Михайлова линейная системаn-го порядка устойчива, если кривая (годограф) Михайлова охватывает начало координат и последовательно проходит n квадрантов.

Если кривая Михайлова проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости.

На рисунке 24 показаны кривые Михайлова для устойчивых систем, описываемых уравнениями, начиная от первого (n = 1) и кончая пятым (n = 5) порядком.

Из рисунка видно, что предпоследняя система находится на границе устойчивости, а последняя – неустойчива.

3.3.2. Критерий устойчивости Найквиста

Критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ).

Необходимая АФЧХ разомкнутой системы может быть получена следующим образом. В выражении передаточной функции разомкнутой системы W(p) заменяют p на jω и получают уравнение АФЧХ разомкнутой системы W(jω). Чтобы построить АФЧХ, необходимо представить ее состоящей из вещественной и мнимой частей:

,

з

Рисунок 25. Графическая интерпретация критерия устойчивости Найквиста

атем, задаваясь значениями от 0 до :  = 0, _1, ₂,… необходимо найти точки [U(0), jV(0)]; [U(ω₁), jV(₁)]; [U(ω₂), jV(ω₂)];…, по которым построить АФЧХ на комплексной плоскости (рис. 25).

Если разомкнутая система статическая (не имеет интегрирующих звеньев), то при  = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке U(0) = k, где k – коэффициент передачи разомкнутой системы. Заканчивается АФЧХ при ω   в начале координат (рис.25,а).

Если система является астатической (имеет интегрирующие звенья), то ее АФЧХ начинается при ω  0 в бесконечности, поскольку в знаменателе амплитудно-фазовой функции W(jω) имеется множитель (j)^r, где r – порядок астатизма. Соответственно при r = 1 характеристика W(jω) при ω = 0 уходит в бесконечность вдоль отрицательной мнимой полуоси, при r = 2 – вдоль отрицательной действительной полуоси, а при r = 3 – вдоль положительной мнимой полуоси (рис. 25,б).

Разомкнутая система может быть устойчивой и неустойчивой. Критерий Найквиста для первого случая формулируется так: если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до  не охватывала точку с координатами (-1, j0).

На рисунке 25,а - характеристика 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшить коэффициент передачи в неустойчивой системе, то ее АФЧХ будет «сжиматься» к началу координат, в результате чего система станет устойчивой. При увеличении коэффициента передачи характеристика ранее устойчивой системы в конце концов охватит точку (-1, j0) и система потеряет устойчивость.

Для суждения об устойчивости астатической системы, находящееся в бесконечности, начало ее АФЧХ, соответствующее ω = 0, надо мысленно соединить с положительной действительной полуосью против часовой стрелки дугой бесконечного радиуса (рис. 25,б). В случае устойчивой системы точка (-1, j0) не должна охватываться АФЧХ, мысленно дополненной дугой, соединяющей ее с положительной действительной полуосью. На рисунке 25,б сплошные кривые 1, 2, 3 относятся к устойчивым, а штриховые кривые 1а, 2а, 3а – к неустойчивым системам с астатизмом соответственно 1-го, 2-го и 3-го порядков.

В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками из-за простоты их построения. Применительно к логарифмическим характеристикам критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАЧХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение , т.е. на частоте срезаω_с фаза должна быть меньше .

На рисунке 26 кривые 1, 2 и 4 соответствуют замкнутой устойчивой системе, ЛФЧХ, показанная пунктирной линией, соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, ЛФЧХ 3 – неустойчивой замкнутой системе.

П

Рисунок 26. ЛФЧХ замкнутой системы

ри оценке устойчивости систем необходимо определить запас устойчивости, т.е. степень удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости или из-за изменения параметров системы.

В случае применения критерия Гурвица о запасе устойчивости можно судить по тому запасу, с которым выполняются входящие в этот критерий неравенства.

При использовании критерия Михайлова и Найквиста запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет удаленность годографа D(jω) от начала координат, а для критерия Найквиста – удаленность характеристики W(jω) от точки c координатами (-1, j0).

В качестве меры запаса устойчивости используется запас устойчивости по фазе φ и запас устойчивости по амплитуде h (рис. 26).

Запас устойчивости по фазе определяется величиной φ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза ω_с, чтобы система оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной h допустимого увеличения АЧХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи k разомкнутой системы по отношению его к критическому по устойчивости значению.

При проектировании САУ рекомендуется выбирать φ ≥ 30⁰, а h ≥ 6 дБ, что соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.