2. Аналитическая геометрия на плоскости

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид

, где .

Вектор , перпендикулярный прямой, называетсянормальным вектором прямой на плоскости.

Уравнение вида , где,,, называетсяуравнением прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей через данную точкус заданным угловым коэффициентом, имеет вид:

.

Угол между прямыми ,определяется следующим образом:

.

Задание 2. Даны уравнения двух высот треугольника и, и одна из вершин. Составить уравнения сторон треугольника. Сделать чертеж.

Решение. По условию задачи нам известны: ,CD: и BE: . Определим уравнение стороныAB. Высота CD перпендикулярна стороне AB, а потому их угловые коэффициенты иудовлетворяют условию:. Из уравнения прямойCD следует, что . Тогда.

Напишем уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом:

.

Подставив в это уравнение координаты точки А и угловой коэффициент ,получим уравнение стороны АВ:

или

.

Аналогично можно получить и уравнение стороны АС. Действительно, в силу перпендикулярности ВЕ и АС имеем: . Из уравнения высоты ВЕ следует, что . Тогда. Следовательно, подставив в уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом, координаты точкиА и угловой коэффициент , получим уравнение стороныАС:

или

.

Теперь составим уравнение стороны ВС. Для этого определим координаты вершин В и С треугольника АВС. Координаты точки В можно определить из условия пересечения прямых АВ и ВЕ:

.

Решение полученной системы и есть координаты вершины, а именно.

Таким же образом определяем координаты точки С:

и тогда С.

Уравнение прямой, проходящей через точки В и С, имеет вид :

,

где B, C.

Подставив координаты точек В и С в данное уравнение, получим уравнение стороны ВС:

или

.

Сделаем теперь чертеж:

3. Линии второго порядка

К линиям второго порядка относят окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

Каноническое уравнение окружности имеет вид

,

где r- радиус окружности.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

,

где .

Каноническое уравнение параболы имеет вид

а) , где > 0 ( парабола симметрична относительно оси);

б) (парабола симметрична относительно оси).

Задание 3. Составить уравнение линии, каждая точка которой одинаково удалена от точки и прямой. Сделать чертеж.

Решение Пусть М (x, y) – любая точка искомой линии, - основание перпендикуляра, опущенного из точкина прямуюy. Тогда точка имеет координаты. Расстояние от точкиМ до прямой есть расстояние между точкамиМ и N:

.

Теперь определим расстояние между точками М и :

.

По условию задачи . Следовательно, для любой точкисправедливо равенство:

или

.

Окончательно,

.

Полученное уравнение является уравнением параболы с вершиной в точке . Действительно, сделаем замену

.

Тогда уравнение примет вид:

(каноническое уравнение параболы ).

4. Полярная система координат

Говорят, что на плоскости введена полярная система координат, если заданы:

1. некоторая точка 0, называемая полюсом;

2. некоторый луч, исходящий из точки 0 и называемый полярной осью.

Полярными координатами точки M называются два числа: полярный радиус иполярный угол - угол между полярной осью и вектором.

Пусть на плоскости введены декартова и полярная системы координат, причем начало декартовой системы совпадает с полюсом, а полярная ось - с положительной полуосью абсцисс. Тогда прямоугольные координаты x, y точки М и ее полярные координаты ρ, φ связаны следующими формулами:

,

,

Задание 4. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1. Построить линию по точкам, придавая φ значения от дочерез промежуток.

2. Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.

3. По уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить тип линии.

Решение.

1) Совместим декартову и полярную системы координат и рассмотрим окружность произвольного, достаточно большого радиуса с центром в полюсе. Построим радиусы, образующие углыс полярной осью, гдепринимает значения отдос шагом. Вычислим косинусы этих углов и по этим значениям найдем. Результаты вычислений занесем в таблицу:

	0
	1	0,92	0,7	0,38	0	-0,38	-0,7	-0,92	-1	-0,92	-0,7	-0,38	0	0,38	0,7	0,92	1
	0,16	0,17	0,19	0,24	0,33	0,53	1,11	4,16	∞	4,16	1,11	0,53	0,33	0,24	0,19	0,17	0,16

Построим точки () и по полученным точкам построим искомую линию:

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой системе координат. Для этого воспользуемся формулами:

.

Отсюда ,.

Тогда имеем:

или после упрощения

.

3. Чтобы определить тип линии, определяемой полученным уравнением,

преобразуем его к каноническому виду:

или

.

Окончательно получим:

,

где ,. Таким образом, данное уравнение определяет параболу.