9. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть дана прямая ℓ и точки А, В и С принадлежащие прямой ℓ.

Определение. Отношением, в котором точка С делит отрезок АВ называется число . Обозначение λ_С=(АВ,С).

Число λ может принимать как положительные так и отрицательные значения. Так, на рис. а) векторы и сонаправлены и, поэтому, λ > 0; то есть точка С лежит на отрезке АВ. В случае, приведённом на рис.4б), и противоположно направлены и, следовательно, λ < 0, а точка С лежит вне отрезка АВ. Число λ не может принимать значение равное − 1, так как в этом случае = −=>==> А = В, что означает отрезов вырождается в точку.

10. Уравнение прямой, заданной точкой и направляющим вектором.

Поставим перед собой задачу получить уравнение прямой. Введём на плоскости аффинную систему координат R=(О,) и рассмотрим прямую ℓ, заданную точкой М_о(х_о,у_о) и вектором параллельным ей.

В этом случае положение прямой ℓ на плоскости определяется единственным образом.

Пусть точка М(x;y) − произвольная точка прямой ℓ. Очевидно, что точка М(x,y)тогда и только тогда, когда векторыипараллельны. =>. Координаты вектораи вектора

() известны, =>

Уравнение называется уравнением прямой заданной точкой и направляющим вектором или каноническим уравнением прямой.

(Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Согласно аксиомам планиметрии через две точки плоскости проходит единственная прямая.

Пусть на плоскости введена аффинная система R=(О,) координат и даны две точки, которые имеют координаты М₁(х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂).

В этом случае в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор .

образом направляющий вектор прямой ℓ = ==(). Уравнение прямой (М₁М₂) в этом случае запишется в виде:

Уравнение называется уравнением прямой проходящей через две точки).

11. Уравнение прямой, с угловым коэффициентом.

Пусть на плоскости в дана аффинная система координат R=(О,) и дана прямая ℓ, пересекающая ось ординат.

Если − направляющий вектор прямой, тоине коллинеарны, поэтому.

Число называетсяугловым коэффициентом прямой ℓ. Заметим, что угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора прямой. Действительно, если − другой направляющий вектор прямой ℓ, топоэтому координаты векторов и пропорциональны .Пустьk − коэффициент прямой ℓ, координат R=(О,). Очевидно, что еслинаправляющий вектор прямой ℓ, то векторявляется направляющим вектором этой прямой. Поэтому уравнение (5) можно записать в видеили.

в качестве точки М(х₀;у₀) взять точку В(0;b), то последнее уравнение примет вид

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент k прямой имеет простой геометрический смысл, если прямая задана в прямоугольной системе координат R(O,), что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона прямой к оси Ох.

12. Прямая, как линия первого порядка. Определение. Линия называется линией первого порядка, если её уравнение содержит переменные в первой степени.

Теорема I. Любая прямая в некоторой системе координат на плоскости определяется уравнением первого порядка Ах+Ву+C =0.

И наоборот любое уравнение первого порядка Ах+Ву+C =0 в некоторой системе координат на плоскости задаёт в пряммую.

Доказательство.

1. Пусть на плоскости дана прямая ℓ. Введём на плоскости систему координат. Тогда, в зависимости от способа задания прямой её уравнением будет одно из следующих: ;;

; .Каждое из этих уравнений является уравнением первого порядка, которое легко приводится к видуLx+By+C=0 .Ч.т.д.

2. Пусть на плоскости в некоторой системе координат дано уравнение Lx+By+C=0. Выясним, какая фигура Φ определяется этим уравнением.

Возьмём точку М₀(-С/L; 0) и вектор .

Составим уравнение прямой ℓ, заданной точкой М₀ и направляющим вектором .

Раскрыв определитель, получим Ах+Ву+Сz=0.

Очевидно, что всякая точка, принадлежащая фигуре Φ имеет координаты, удовлетворяющие уравнению Ах+Ву+Сz=0. С другой стороны, Любая точка, принадлежащая прямой ℓ , имеет координаты, удовлетворяющие тому же уравнению, => фигура Φ является прямой ℓ .

Теорема доказана.