ЧМТФ Лабораторная работа 5

Лабораторная работа 5.

Нелинейные одномерные колебания

Цель работы: изучение нелинейных колебаний маятника с учетом сил со­противления.

Теоретические сведения . Вывод дифференциального уравнения колебания математического маятника

Рассмотрим колебания математического маятника относительно точки подвеса О (рис. 5.1). Момент инерции материальной точки массы m обозначим J, длину нити L. Тогда в данном случае . Положение тела будем характеризовать углом отклонением от положения равновесия. Движение тела описывается основным уравнением динамики вращательного движения , где – сумма

Рисунок 6.1.

(с учетом знака проекций) моментов всех сил относительно точки подвеса О, действующих на материальную точку m, - угловое ускорение. Момент силы тяжести , сила сопротивления среды , где k -коэффициент сопротивления, V - скорость. Линейная скорость связана с угловой по формуле , поэтому момент силы сопротивления . Момент силы натяжения нити T равен нулю. Таким образом основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

,

(5.1)

или .

Порядок выполнения работы

Задание 1. Изучение колебаний маятника с учётом трения.

Найти зависимость угла отклонения математического маятника от положения равновесия при различных значениях коэффициента трения k (0, 0.05 кг/с, 0.2 кг/с и 1 кг/с). Расчеты произвести до с. Начальное положение , начальная скорость - нулевая. Данные для расчетов представлены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Задание 2. Построение фазовых диаграмм математического маятника.

Построить фазовые диаграммы (зависимости ) для рассмотренных выше маятников. Построить фазовые диаграммы при нулевом начальном угле и различных начальных скоростях без трения и с трением. Рассмотреть случаи переворотов. Сделать выводы о виде фазовых диаграмм в зависимости от параметров системы и начальных условий.

Задание 3. Нахождение зависимости периода колебаний от ко­эффициента трения и амплитуды колебаний.

Вычислить периоды колебаний при различных значениях коэффициента трения и начального отклонения. Результаты занести в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Задание 4. Изучение вынужденных колебаний.

Добавить в правую часть дифференциального уравнения (5.1) до­полнительное слагаемое - угловое ускорение, вызванное внешней вынуждающей силой. Найти зависимость угла отклонения математического маятника от положения равновесия при различных значениях частоты вынуждающей силы (, , , , где - малая величина Принять коэффициент трения и начальные условия равными нулю, а также А = 1 рад/с .

Задание 5.

Построить резонансные кривые (зависимости при различных коэффициентах сопротивления.

Контрольные вопросы.

1. Выведите дифференциальное уравнение колебаний математического маятника.

2. Объясните метод решения дифференциального уравнения, применяе­мый при выполнении данной работы.

3. Объясните метод нахождения периода колебаний с помощью компьютерного моделирования.

4. Чему равен период математического маятника теоретически? В каких случаях результаты, вычисленные по этой формуле, опровергаются компьютерным моделированием?

5. Как зависит период колебаний от амплитуды?

6. Объясните, почему период нелинейных колебаний не является постоянной величиной.

7. Что такое фазовая диаграмма и как она выглядит?

8. Что такое резонанс колебательной системы?