Задачи для самостоятельного решения
Задача 1.
D
A
500
B 
K
Рис. 43
Определить реакции петель и усилие в стержне, удерживающем полку в горизонтальном положении, если вес полки Р =80 Н, КС=СЕ (рис. 43).
Методические рекомендации
Выполните чертеж (рис. 43а) и покажите
Едействующие на полку силы: силу тяжести, реакции петель в точках А и В, и усилие стержня. Используйте для составления уравнений проек-
C ций сил, приложенных к полке, на оси у и z и их моментов относительно оси х дополнительный чертеж (рис. 43б).
|
|
D |
z |
|
|
z |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ZA |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А |
XA |
Е |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
900 |
|
S |
||
ZB С |
O |
50o |
Sz |
|
h |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
С |
|
O |
50 |
|
|
|||
В |
|
|
|
P |
|
|
|
С y |
||||||
XB |
|
|
К |
|
|
|
P |
Sу |
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 43a
Рис. 43б
Задача 2. Определить реакции подшипников и силу Р (рис. 44).
Q =120 H, R = 0,6 м, r = 0,4 м, AO = 0,8 м, OC = 1,2 м, CB = 0,8 м.
z |
|
B |
y |
|
|
Q |
|
|
z |
|
|
|
|
Qz |
Q |
300 |
|
300 |
C r |
|
|
Qx |
|
O R |
|
P |
|
|
х |
|
|
О |
Qху |
||
A |
|
x |
|
||
|
|
|
|
Рис. 44а
Рис.44
Методические рекомендации
Покажите реакции в подшипниках А и В. Используйте дополнительный чертеж (рис. 44а) для определения проекций силы Q на оси координат и моментов относительно координатных осей.
Qx = Q cos300 , Qz = Q sin 300 , mx = QzOA, my =Q R, mz = −QxOA
Задача 3. Определить реакции подшипников и силу Q, если Р =4кН, AD = EC = CL = 0,3 м, DE =0,2 м, KO = 0,4 м, r = 0,18 м (рис. 45).
|
|
Q |
y |
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60o |
|
|
|
Qy |
|
Q |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
r |
z |
|
|
|
|
|
|
|
P |
K |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
Pz |
|
|
|
|
|
|||
|
40o |
|
|
|
Qx |
|
|
|||
C1 |
C |
|
|
x |
30 |
o |
О |
x |
||
D |
|
E |
А (D) |
|
|
y |
||||
|
Px |
|
|
|
|
|
||||
|
|
B |
|
|
|
|
||||
А |
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Рис. 45а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 45 |
Рис. 45б |
Методические рекомендации
При решении задачи используйте вспомогательные чертежи (рис.45а, 45б).
7. Центр тяжести.
7.1. Координаты центра тяжести. Для однородного тела сила тя-
жести pk любой его части пропорциональна объему vk этой части: pk=γ vk,
а сила тяжести тела Р пропорциональна объему V этого тела: P=γ V. Подставив значения Р и рк в формулы координат центра тяжести, по-
лучим:
xC = |
∑vk xk |
; |
yC = |
∑vk yk |
; zC = |
∑vk zk |
. |
|
V |
V |
V |
||||||
|
|
|
|
|
Положение центра тяжести тела, как следует из полученных формул, зависит только от геометрической формы тела, поэтому точку С называют центром тяжести объема.
Аналогично определим центр тяжести однородной плоской пла-
стины, расположенной в плоскости ху:
xC = |
∑sk xk |
; yC = |
∑sk yk |
; |
|
S |
S |
||||
|
|
|
где S – площадь всей пластины, sk – площади ее частей.
Точно также получаются координаты центра тяжести однородной линии:
xC = |
∑lk |
xk |
; |
yC = |
∑lk |
yk |
; |
zC = |
∑lk |
zk |
, |
L |
|
L |
|
L |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L – длина всей линии, lk – длины ее частей.
7.2. Способы определения координат центров тяжести однородных тел
1.Если однородное тела имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит в плоскости, на оси или в центре симметрии. Отсюда следует, что центр тяжести однородного стержня лежит в его середине, центр тяжести круглого кольца, круглой или прямоугольной пластины, шара находится в соответствующем геометрическом центре. Центры тяжести ромба, параллелограмма лежат в точках пересечения их диагоналей.
2.Разбиение. Для определения центра тяжести тело разбивается на конечное число частей, положение центра тяжести каждой из которых известно. Координаты центра тяжести тела вычисляются по общим формулам.
3.В тех случаях, когда данное тела имеет отверстия, его можно представить как разность тел, в этом случае объем большего тела считается положительной величиной, а объем отверстия – отрицательной.
Для плоской пластины площадь всей пластины берется со знаком плюс,
аплощадь отверстия – со знаком минус.
7.3.Примеры на определение координат центра тяжести
а
а
в
в
Пример 1.
Определить положение центра тяжести пластины, изображенной на рис.46.
а = 4см, в = 2 см.
Решение.
Разделим пластину на две части, на квадрат ABDE со стороной а, и квадрат
Рис. 46
xC = S1xC1 +S2 xC 2 ; S1 +S2
В D
EKLN со стороной в (рис. 46а). Координты центра тяжести пластины вычисляются по формулам:
yC = |
S1 yC1 +S2 yC 2 |
; |
(1) |
|
|||
|
S1 +S2 |
|
|
Координаты центра тяжести С1 квадрата ABDE равны:
|
|
|
C1 C |
|||
|
C1 |
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
xC1 |
|
|
|
|
|
|
xC |
|
x |
|
C2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 46a
ний, получим:
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х С1 = a/2 = 2, |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
yC1 = a/2 = 2. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
Координаты центра тяжести |
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
x |
|
квадрата EKLN: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
хС2 =а +в/2 =5, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yC2 = b/2 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площади квадратов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 = a2 = 16, S2 = b2 = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим полученные значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в формулы (1) и, после преобразова- |
|
x |
C1 |
= |
a3 |
+ 2ab2 |
+b3 |
= 2,6; |
||||||
|
2(a2 |
+b2 ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
yC1 = |
|
a3 |
+b3 |
=1,8. |
||||||
|
|
|
2(a2 |
+b2 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2
С2
С1 
Рис. 47
(рис. 47)
В круглой пластине радиуса R = 12 см вырезано круглое отверстие радиуса r = 3 см, d = 6 cм расстояние между центрами окружностей пластины и отверстия равно d = 6 cм.
Решение. Пластина имеет ось симметрии, проходящую через центры окружностей пластины и отверстия С1 и С2, следовательно, центр тяжести пластины будет находиться на прямой, проходящей через эти точки.
Ось х направим вдоль оси симметрии (рис. 47а).
|
|
|
x = |
S1xC1 +S2 xC 2 |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
C |
|
S1 +S2 |
|
y |
x |
|
|
|
||
S1 |
=π R2 |
= 3,14 (12)2 = 452,2; |
||||
|
С2 |
S2 |
=π r2 |
= 3,14 32 = 28,26. |
||
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
С |
|
хС1 = 0, хС2 = 6. |
|||
При подстановке в формулу площадь отверстия считаем отрицательной:
Рис. 47а |
|
−28.25 6 |
|
|
xC |
= |
= −0,4 . |
||
452,2 −28,26 |
||||
|
|
|
Таким образом, центр тяжести данной пластины находится на оси симметрии, слева от точки С1 на расстоянии: СС1 = 0, 4 см