Физика / Физика 1 часть / $$ТО$$~9

Рис.9

. (3)

Напряженность поля в точке нахождения заряда q равна

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то .

Подставляя выражения (2) и (3) в это равенство, получим

. (4)

Подставив выражение (4) в формулу (1), получим

. (5)

Убедимся, в том, что правая часть равенства (5) дает единицу силы

= Н.

Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что

Направление силы , действующей на положительный заряд q, сов- падает с направлением вектора напряженности . Из рис. 9 следует, что , откуда .

Произведем вычисления подставив численные значения величин:

.

Пример 4.

Два точечных электрических заряда q₁ = 1 нКл и q₂ = -2 нКл находятся в воздухе на рас­стоянии d = 10 см друг от друга. Определить напря­женность и потенциал  поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда q₁ на расстоя­ние r₁ = 9 см и от заряда q₂ на r₂ = 7 см.

Дано: q1 = 1·10-9 Кл q2 = -2·10-9 Кл d = 0,1 м r1 = 0,09 м r2 = 0,07 м	Решение: Согласно принципу суперпозиции элек­трических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометри- ческая сумма напряженностей и полей, соз-
,  - ?

даваемых каждым зарядом в отдельности:

.

Напряженности электриче­ского поля, создаваемого в воздухе ( = 1) зарядами q₁ и q₂ равны: , (1)

. (2)

Вектор (рис. 10) направлен по силовой линии от заряда q₁, так как этот заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду q₂, так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора найдем по теореме косинусов

, (3)

где  - угол между векторами и , который может быть найден

из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d:

.

В данном случае во избежание громоздких записей удобно значение cos вычислить отдельно:

.

r₂

r₁

d

α

А ○

q1 q2

Подставляя выражение из (1) и из (2) в (3) и вынося общий множитель 1/(4л0) за знак корня, полу­чаем

Рис. 10 В соответствии с принципом су-

перпозиции электрических полей потенциал  результирующего поля, создаваемого двумя зарядами q₁ и q₂, равен алгебраической сумме потенциалов:

(4)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q на расстоянии r от него, выражается формулой:

. (5)

В нашем случае согласно формулам (4) и (5) получим

или (6)

Произведем вычисления учитывая, что

Пример 5

Чему равна напряженность электрического поля равномерно заряженного стержня с линейной плотностью  в точке, находящейся на расстоянии R от оси стержня? Углы, образованные стержнем и прямыми, проходящими через его концы и точку A равны, соответственно ₁ и  - ₂ .

Дано:  R 1  - 2	Решение: Расстояние от исследуемой точки поля A до оси стержня может быть любым, поэтому заряд на стержне не является точечным. Выделим на стержне элемент длины dl (рис.11). На нем располагается элементарный заряд dq = dl, который можно считать точечным.
E - ?

Напряженность поля, созданного зарядом dq в исследуемой точке, можно разложить на две составляющие, одна из которых перпендикулярна, а другая - параллельна оси стержня.

(1)

Обозначим  угол между радиусом - вектором и стержнем. Радиус- вектор направлен от элемента dl к точке А. Тогда

dE_= dEsin , dE_|| = dE cos (2)

Рис. 11

Прежде чем интегрировать вы- ражения (2), нужно преобразо- вать выра жение (1) так, чтобы можно было интегрировать по углу. Выразим элемент дли- ны проводника dl через d. Из рис. 11 видно что т.е. , но , , т.е. r - величина переменная, зави- сит от . Тогда .

Подставив dl и r в формулу (1), получим

(3)

Ч

(7)

тобы найти параллельную и перпендикулярную составляющие напряженности, нужно проинтегрировать выражения (2) в пределах от ₁ до ₂ предварительно подставив выражение dE из (3).

(6)

. (4)

. (5)

Модуль вектора равен:

.

Чтобы избежать громоздких записей, преобразуем сначала подкоренное выражение:

(cos₁ - cos₂)² + (sin₂ - sin₁)² = cos²₁ + cos²₂ – 2cos₁  cos₂ + + sin²₂ + sin²₁ – 2sin₂sin₁ = (sin²₁ + cos²₁) + (sin²₂ + cos²₂) – – 2(sin₁ sin₂ + cos₁ cos₂) = 2[1 – cos(₁ - ₂)] = .

Тогда модуль напряженности:

(6)

Чтобы найти направление вектора , определим угол :

Рассмотрим частный случай: точка А находится против середины стержня. Тогда из соображений симметрии E_|| = 0, E = E_ и cos₂ = - cos₁. С учетом этого формула (4) примет вид:

. (7)

При этом ₁ =  - ₂. Покажем, что в предельных случаях поле, образованное заряженной нитью конечной длины, переходит в электрическом поле бесконечно протяженной нити и точечного заряда. Из чертежа видно, что cos₁ = cos( - ₂) = , где L - длина стержня.

а) При R<<L величиной R можно пренебречь и cos₁  1. Отсюда - это напряженность поля бесконечной протяженной нити. Подставим значение cos₁ в формулу напряженности (7)

Произведение L = q, т.е. заряду, находящемуся на нити.

б) При R>>L величиной L/2 можно пренебречь, тогда и - это напряженность поля точечного заряда.

Пример 6.

В вакууме образовалось скопление зарядов в виде тонкого длинного цилиндра с объемной плотностью  =1·10^-10 Кл/м³ и радиусом R =10 см. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от оси цилиндра на расстоянии 5 см и 15 см, а также вид зависимости Е(r).

Дано: R = 0,1 м  = 1·10-10 Кл/м3 r1 = 0,05 м r2 = 0,15 м  = 1	Решение: Через точки 1 и 2 проведем в виде цилиндров радиусом r1 и r2 замкнутые поверхности (рис.12). Поток вектора напряженности, пронизывающий боковую поверхность цилиндра радиуса r1, равен: NE(1) = E12r1 l, где l - длина образующей цилиндра. (Поток через основание цилиндра равен нулю).
Е1 = ? Е2 = ? Е(r) = ?
l ●2 Рис. 12		По теореме Гаусса: . .Отсюда: E12r1l = Точка 1 находится внутри цилиндра радиуса R. Поэтому для любой точки с имеем:

E(r) = ,

т.е. напряженность линейно растет с увеличением расстояния.

Поток напряженности, пронизывающий поверхность второго цилиндра, находится аналогично

По теореме Гаусса N_E(2) = = .

Приравнивая правые части равенств, найдем

E₂ = .

Зависимость Е(r) при r > R имеет вид

E(r) =

Напряженность убывает пропорционально. При r = R

E_R = =

На поверхности цилиндра напряженность имеет максимальную величину.

Проверим единицы напряженности

[E] = ==.

Произведем вычисления учитывая, что

E₂ =

Графически зависимость Е(r) представлена на (рис.13).

r	0	R	2R	3R	4R	5R	6=R	7R
E	0	ER	ER/2	ER/3	ER/4	ER/5	ER/6	ER/7

E

E_R

0 R 2R 3R 4R 5R 6R 7R r

Рис. 13

Пример 7.

Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда  =100 нКл/м. Определить потенциал  поля в точке пересечения диагоналей (рис. 14).

Дано:  =1·10-10 Кл/м	Решение: Заряд, находящийся на рамке, нельзя считать точечным, он равномерно распределен по длине квадратной рамки. Поэтому для нахождения потенциала используем принцип суперпозиции
φА - ?

полей. Согласно ему, потенциал поля квадратной рамки равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых

зарядом каждой стороны квадрата. Из соображений симметрии следует, что эти потенциалы равны по величине и одинаковы по знаку: ₁ = ₂ = ₃ = ₄. Тогда  = 4_i.

Выделим на рамке малый участок dl с зарядом dQ = ·dl. Этот заряд можно рассматривать как точеч-

dr r ный.Потенциал поля такого заряда d ==, где r - расстояние от элемента dl до точки 0. Для интегри- рования нужно преобразовать эту формулу так, чтобы в ней была только одна переменная - угол . Согласно чертежу Тогда

A B α1 dα dl α2 K O D C Рис. 14

d = =.

Точка K делит сторону квадрата AD пополам. Тогда _AD = 2_AK. При

в ычислении потенциала φ_АК интегрирование ведется от α₁=π/4 до α₂=π/2.

П роверим единицы потенциала

82