Физика / Физика 1 часть / $$ТО$~10

П роизведем вычисления учитывая, что

Пример 8.

Две паралельные плоскости, заряженные с поверхностными плотностями σ₁ = 0,2 мкКл/м² и σ₂ = - 0,3 мкКл/м², находятся на расстоянии d=0,5 см друг от друга. Определить разность потенциалов между плоскостями.

Дано: 1 = 0,210-6 Кл/м2 2 = - 0,310-6 Кл/м2 d = 0,510-2 м  = 1	Решение: Напряженность электрического поля между двумя разноименно заряженными плоскос- тями может быть найдена по принципу суперпозиции , где E1 =, E2 =.
(1 - 2) = ?

Напряженности и имеют одинаковое направление, поэтому геометрическую сумму можно заменить арифметической:

E = E₁+ E₂ =.

Плотность заряда в последней формуле берется по модулю, знак заряда определяет направление вектора напряженности, которое учтено при сложении напряженностей.

Поле между плоскостями однородно, поэтому напряженность поля связана с разностью потенциалов как E =.

Отсюда ₁ - ₂ = E·d =.

Проверка единиц разности потенциалов

[₁ - ₂] = = = В.

Произведем вычисления учитывая, что

Пример 9.

Бесконечно длинный цилиндр радиуса R = 10 см заряжен с поверхностной плотностью  = 10 мкКл/м². Какую работу необходимо совершить, чтобы перенести заряд q = 2 мкКл из точки 1 в точку 2 ? Расстояние l₁=3R, расстояние l₂=2R (рис. 15 а).

Дано: R = 0,1 м  = 1·10-6 Кл/м2 q = 2·10-6 Кл l1=3R l2=2R	Решение: Работа по переносу заряда в поле А = q(1 - 2). Проведем через точки 1 и 2 эквипотенциальные поверхности. Они представляют собой боковые поверхности коаксиальных цилиндров с радиусами оснований l1 и l2 (рис. 15б). Потенциал 1 - это потенциал поверхности радиуса l1, потенциал 2 относится к поверхности радиуса l2
А = ?

z R l2 l1 2 y 1 x Рис. 15 а

z R x Рис. 15 б

Для определения разности потенциалов сначала найдем напряженность поля заряженного цилиндра. По определению, поток вектора напряженности , пронизывающий боковую поверхность прямого коаксиального цилиндра с радиусом r > R, равен

N_E = E2rh,

где h - длина образующей цилиндра.

По теореме Гаусса в вакууме:

N_E ==

Отсюда:

E2rh =; E =.

Так как ₁ и ₂ потенциалы эквипотенциальных поверхностей, то для нахождения разности потенциалов точек 1 и 2 воспользуемся формулой

E =

d = -Edr =.

Интегрирование в пределах от l₁ до l₂ дает приращение потенциала:

₂ - ₁ = - ==

Разность потенциалов начальной и конечной точек

₂ - ₁=.

Работа по переносу заряда q из точки 1 в точку 2

A = q(₁ - ₂) =.

Проверка единиц работы

[A] ==== КлВ = Дж.

Произведем вычисления, учитывая, что

Работа дает величину A = - 0,09 Дж. Работа отрицательна, поскольку положительный заряд перемещается из точки с меньшим потенциалом (точка 1) в точку с большим потенциалом (точка 2). Такую работу поле совершить не может, это работа внешних сил.

Пример 10.

Определить ускоряющую разность потенциалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ₁ = 10⁶ м/с, что­бы скорость его возросла в п = 2 раза.

Дано: υ1 = 106 м/с n=υ2 / υ1=2	Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатиче­ского поля. Эта работа определяется произведением элементар-ного заряда е на разность потенциалов U
U-?

A=eU. (1)

Работа сил электростатического поля в данном слу­чае равна изменению кинетической энергии электрона:

(2)

где Т₁ и T₂ — кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m — масса электрона; -

начальная и конечная скорости электрона.

Приравняв правые части равенства (1) и (2), получим

где n=υ₂ / υ₁=2.

Отсюда искомая разность потенциалов

Произведем вычисления, учитывая, что масса электрона , а заряд

Пример 11.

Расстояние между пластинами заряженного и отключенного от батареи плоского конденсатора d = 5 см, напряженность поля в нем Е = 300 В/см. В конденсатор параллельно его пластинам вводят незаряженную металлическую пластину толщиной d₁ = 1 см. Опре-делить разность потенциалов между обкладками конденсатора до и после введения пластины. Вычислить емкость конденсатора, если площадь каждой из пластин конденсатора S = 100 см² и все свобод- ное пространство в конденсаторе заполнено керосином ( = 2,1).

Дано: q = const d = 5·10-2 м Е = 3  104 В/м d1 = 0,01 м S = 10-2 м2  = 2,1	Решение: В результате электростатической индукции свободные электроны в пластине СD перераспределяются так, что напряженность электростатического поля внутри пластинки станет равной нулю: Евнутр. = 0. Плотность зарядов, индуцированных на поверхностях С и D, равна плотности зарядов на обкладках конденсатора А и В, поэтому напряженность
u1, u2, c1, c2 = ?

поля в пространстве вне введенной пластины не изменится E_AC = E_DB = E.

Поле конденсатора однородно, поэтому равность потенциалов между обкладками конденсатора до введения пластины может быть найдена как u₁ =Еd, а после введения пластины

+ - А С D В Рис. 16

U2 = UAC + UDB E  lAC + E  lDB = E(d – d1) Видно, что напряжение U2 на обкладках уменьшается. При пере- носе единичного заряда с одной обкладки конденсатора на другую электрическое поле будет совер- шать работу только на пути (d - d1). Емкость конденсатора до введения пластины c1 =.

Конденсатор отключен от батареи, заряд на его обкладках сохраняется q = c₁U₁ = c₂U₂.

Тогда с₂ ====.

Таким образом, емкость конденсатора возрастает, с₂ > с₁. Если введенную пластину перемещать параллельно обкладкам, то емкость изменяться не будет.

Произведем вычисления учитывая, что .

U₁ = 3  10⁴ В/м ·5·10^-2 м = 1500 В.

U₂ = 3  10⁴ В/м ·(5 –1)·10^-2 м = 1200 B.

Пример 12.

Как изменится емкость плоского воздушного конденсатора, если: а) между его обкладками поместить стеклянную пластину ( = 6), толщина которой равна половине расстояния между обкладками?

б) между обкладками конденсатора поместить стеклянную пластину ( =6), длина которой равна половине длины пластин конденсатора?

Решение:

ε = 6 а) если между стеклом и воздухом поместить очень тонкий слой проводника, это не изменит напряженности поля ни в стекле, ни в воздухе, поэтому не изменится и разность потенциалов между обкладками конденсатора. Но теперь конденсатор AB можно рассматривать как два последова- тельно соединенных конденсатора AD и DB (рис. 17,а)

А D В Рис. 17 а

Пусть емкость конденсатора AB до введения стеклянной пластины равна c₀. Тогда, согласно формуле c = емкости конденсаторов AD и DB равны 2c₀ и 2·с₀ соответственно. Емкость конденсатора AB после введения стеклянной пластины найдем по формуле

= или ==. (1)

Выразив c' из (1), получим

c' ===1,7c₀ . (2)

Из выражения (2) видно, что емкость конденсатора AB увеличилась в 1,7 раза.

+А - В Рис. 17 б

б) Между обкладками конденсатора помещена пластина, длина которой равна половине длины пластин конденсатора (рис.17,б). В этом случае емкость конденсатора равна емкости параллельно соединенных конденсаторов, из которых один заполнен диэлектриком, а другой нет, т.е. c' = c1 + c2. Учитывая, что ширина пластин равна , получим

c' ===. (3)

Выражение = c₀ - это емкость конденсатора без диэлектрика,

Тогда c' =. (4)

Учитывая, что  = 6 и , найдем по формуле (4) значение с'

c' == 3,5 с₀. (5)

Из выражения (5) видно, что в этом случае емкость конденсатора возрастет в 3,5 раза.

Пример 13 .

В схеме, изображенной на рис. 18 а электрические емкости

с₁ = 2·10^-6 Ф и с₂ = 1·10^-6 Ф. Вычислить общую емкость системы, включенной между клеммами А и В.

Дано: с1 = 2·10-6 Ф с2 = 1·10-6 Ф	Решение: Участок DE состоит из двух соединенных параллельно ветвей, в одной из которых включены последовательно три одинаковые емкости с1, а в другой – емкость с2. По формуле
сАВ - ?

соединения емкостей емкость с_DE этого участка цепи равна сумме емкостей обеих ветвей

с_DE = , (1)

где - емкость первой ветви, которую легко определить следующим

А ● В ● D ● ● E А ● с1 с1 с2 с2 с1 с1 с1 Рис. 18 а

с1 с2 сDE с1 Рис. 18 б

уравнением , откуда ,

тогда . (2)

Заменим участок DE одной эквивалентной емкостью с_DE (рис.18 б). Тогда искомая емкость с_АВ будет равна сумме емкостей двух параллельных ветвей, одна из которых содержит емкости с₁, с_DE и с₁, соединенных последовательно, а другая - емкость с₂.

Обозначим общую емкость первой ветви через с₃, тогда

с_АВ = с₃ + с₂, (3)

причем . (4)

Заменив емкость с_DE ее значением ( формула (2) ), получим

,

и

. (5)

Подставив численные значения в выражение (5), найдем

Пример 14.

Два одинаковых воздушных конденсатора с емкостью c = 800 см каждый, заряжены до напряжения U = 900 В. Один из конденсаторов погружается в заряженном состоянии в керосин, после чего конденсаторы соединяются параллельно. Определить работу происходящего при этом разряда.

Дано: c = Ф U = 900 В  = 2	Решение: Работа разряда совершается за счет убыли энергии системы конденсаторов. Выразим эту энергию до соединения конденсаторов. Энергия воздушного конденсатора W1 =.
A = ?

При помещении заряженного конденсатора в керосин (отсоединенного предварительно от источника питания) заряд его остается неизменным, а емкость возрастает в  раз. Тогда его энергия равна

W₂ ====.

При погружении в керосин энергия конденсатора уменьшилась в  раз. Общая энергия конденсаторов до соединения:

W_I = W₁ + W₂ =.

При погружении конденсатора в керосин уменьшилась не только энергия, но и в  раз уменьшилось напряжение на его обкладках. Поэтому при параллельном соединении конденсаторов заряд перетекает от воздушного конденсатора к конденсатору в керосине до тех пор, пока напряжения между обкладками не выровняются. Общий заряд конденсаторов остается при этом неизменным.

Поскольку емкость образовавшейся батареи равна сумме емкостей конденсаторов, то батарея обладает запасом энергии

W_II =, где q₁ = 2q = 2cU. Тогда

W_II ==.

При разряде, первоначальная, энергия убывает, превращаясь в работу разряда:

A = W_I – W_II ===

==.

Проверка единиц работы

[A] = [c]  [U²] = Ф  В² = = Кл  В = Дж.

Вычисления: A == 6  10^-5 Дж.

Пример 15.

Плоский конденсатор заполнен диэлектриком и на его пластины подана некоторая разность потенциалов. Его энергия при этом равна W₁ = 210^-5 Дж. После того, как конденсатор отключили от источника напряжения, диэлектрик вынули из конденсатора. Работа, которую надо было совершить против сил электрического поля, чтобы вынуть диэлектрик, равна А = 710^-5 Дж. Найти диэлек- трическую проницаемость диэлектрика.

Дано: 2 = 1 W1 = 2  10-5 Дж q = const А = 7  10-5 Дж	Решение: Так как конденсатор отключен от источника напряжения, то заряд на его обкладках сохраняется, а энергия конденсатора с пластиной и без пластины равна
1 = ?

W₁ = и W₂ =.

Емкость с₁ = ₁·с₂, следовательно, W₂ > W₁; энергия конденсатора возрастает при удалении диэлектрической пластины за счет совершения работы внешних сил против сил электрического поля.

W₂ - W₁ = A; W₂ = A + W₁.

Найдем отношение энергий

===.

Вычисления

₁ == 4,5.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ВХОДЯЩИЕ В КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 1