Лабораторная работа №11. Численное решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

Лабораторная работа №11. Численное решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

Значительная часть алгебраических и трансцендентных уравнений не может быть разрешена в аналитической форме или такое решение по тем или иным соображениям не является эффективным. В этом случае прибегают к нахождению корней уравнений численными методами.

Задача вычисления корня уравнения

снаперед заданной погрешностью ε > 0 решается обычно в два этапа:

1.Отделение корня, т.е. нахождение грубого приближения к корню – отрезка, внутри которого содержится только один корень.

2.Уточнение значения корня до достижения заданной погрешности.

Решение первой задачи можно производить различными способами. Из каких-либо дополнительных условий может быть заранее известен отрезок, содержащий только один корень. Если таких данных нет, то можно воспользоваться простейшими численными методами – построением таблицы значений функции или ее графика. В обоих случаях необходимо дополнительно проанализировать свойства функции, чтобы иметь уверенность в том, что на выбранном отрезке имеется действительно только один корень. Например, если функция на отрезке монотонна, а на границах принимает значения разных знаков, то выполняются необходимые и достаточные условия единственности корня.

Уточнение значения корня выполняется по тем или иным алгоритмам, которые обеспечивают:

●вычисление нового (уточненного) значения корня;

●вычисление оценки погрешности найденного значения (вычислить собственно погрешность не удается, потому что значение корня неизвестно!);

●формирование признака окончания вычислительного процесса.

Табличный метод уточнения значения корня

Самый простой по описанию алгоритма метод уточнения корня состоит в построении таблицы значений функции f(x) с шагом, равным погрешности ε. Затем по этой таблице необходимо найти наименьшее по модулю значение функции и принять в качестве корня соответствующее значение аргумента. Если функция монотонна на заданном отрезке, то объем вычислений можно уменьшить, анализируя тенденцию изменения модуля значения функции.

Метод деления отрезка пополам

Считаем, что функция f(x) непрерывна в интересующей нас области ее определения, отделение корня уравнения (1) проведено, на отрезке [a, b] находится один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε (рисунок 1). Точки a и b не являются корнями уравнения (1).

2

Лабораторная работа №11. Численное решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

Рисунок 1 – График функции f(x)

Алгоритм метода деления отрезка пополам (половинного деления, дихотомии, бисекции) состоит в следующем:

●найти середину отрезка [a, b]: c = (a + b)/2;

●вычислить значения функции f(a), f(c) и найти их произведение f(a)f(c);

●если произведение f(a)f(c) равно нулю, то точка c – корень уравнения (1);

●если произведение f(a)f(c) отлично от нуля, то следует определить, в какой из двух половин отрезка находится корень. Корень будет находиться в той половине, на границах которой произведение f(a)f(c) или f(с)f(b) имеет разные знаки. Для выполнения проверки удобно контролировать знак произведения f(a)f(c). Если произведение f(a)f(c) меньше нуля, то корень находится на отрезке [a, c], если больше нуля – то на отрезке [c, b];

●вычислить длину отрезка [a, b]: d = b – a. Если длина отрезка [a, b] не превышает значения допустимой погрешности ε, то корень найден. В качестве корня можно принять значение с;

●в противном случае присвоить границам отрезка, содержащего корень, новые значения a, b и повторять вычисления до тех пор, пока не будет достигнута заданная погрешность.

Метод половинного деления позволяет значительно снизить объем вычислений по сравнению с уточнением корня по таблице значений функции.

Задание 1. Отделение корня

Дана функция

где n – номер варианта, g – номер группы.

Отделить наименьший корень уравнения f(x)=0 на отрезке [a, b], a=-5,000, b=2,000, используя таблицу значений и график функции. Длину интервала, на котором отделен корень, выбрать в диапазоне 0,2-0,3 периода гармонической функции.

3

Лабораторная работа №11. Численное решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

При выборе шага табулирования функции будьте внимательны! Неверно выбранный шаг может существенно исказить результаты анализа. С учетом вида и значений параметров функции (3) можно принять, что шаг табулирования следует выбрать в диапазоне (1/10-1/20) периода гармонической функции.

Задание 2. Уточнение значения корня по методу деления отрезка пополам

Уточнить значение наименьшего корня уравнения f(x)=0, который был отделен при выполнении Задания 1. Погрешность ε принять равной 0,001.

При выполнении задания рекомендуется использовать вычислительную таблицу по образцу рисунка 2.

Рисунок 2 – Вычислительная таблица

В столбцах 1-10 записывают следующие данные: 1 – номер шага итерационного процесса;

2, 3 – текущие значения левой и правой границ отрезка, содержащего единственный корень; на первом шаге итерационного процесса в качестве этих значений используются границы интервала, на котором отделен корень; на последующих шагах итерационного процесса значения a и b определяются с учетом результатов анализа по выбору нового отрезка, содержащего корень;

4 – значение середины отрезка [a, b], с = (a+b)/2;

5, 6 – значения функции f(x) в точках a и c соответственно;

7 – проверка условия, является ли точка с корнем уравнения; проверка f(x)=0 является излишне жесткой, достаточно, чтобы выполнялось условие f(с)<δ; значение δ можно оценить до начала итерационного процесса по следующему соотношению: δ ≤ ε · max(‌f '(x) ‌), a≤ x ≤ b; в рассматриваемой задаче значения производных достаточно вычислить на границах отрезка [a, b] после отделения корня;

8 – значение произведения f(a)f(c); в действительности достаточо учитывать только знак произведения f(a)f(c);

9 – проверка условия, достигнута ли заданная погрешность уточнения значения корня (длина отрезка [a, b]);

10 – решение о необходимости продолжения или завершения итерационного процесса; принимается на основании анализа значений в столбцах 7 и 9 текущей строки.

В формулах ячеек столбцов 2, 3, 7, 9, 10 потребуется использовать логическую функцию ЕСЛИ (IF), в формулах ячейки столбца 10 – также логическую функцию ИЛИ (OR).

4

Лабораторная работа №11. Численное решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

Задание 3. Формирование выводов по работе

По результатам выполнения работы сформулировать выводы, в которых отразить:

●алгоритм решения задачи и его особенности;

●параметры итерационного процесса;

●результат решения задачи;

●оценку трудоемкости решения задачи.

Задание 4. Оформление отчета

Оформить отчет по выполненной работе.

Контрольные вопросы

1.Почему возникает необходимость применения численных методов для решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений?

2.Пояснить сущность метода бисекции решения нелинейного уравнения.

3.Какими способами можно отделить корень уравнения?

4.Сформулировать алгоритм метода деления отрезка пополам (бисекции) решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

5.Какой критерий используется для выбора отрезка, содержащего корень, при реализации метода бисекции?

6.Какие критерии можно использовать для принятия решения о завершении итерационного процесса?

7.Как связаны различные оценки достижения заданной погрешности в процессе вычислений?

8.Укажите другие методы решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Приведите алгоритмы этих методов.

5