ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

К а ф е д р а в ы с ш е й м а т е м а т и к и и п р и к л а д н о й и н ф о р м а т и к и

ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Методические рекомендации по изучению курса информатики

Самара Самарский государственный технический университет

2009

результаты анализа модели позволяют исследовать конкретное явление (или класс явлений), должна соответствовать точности исходной информации. При этом с появлением возможности получать более точную информацию обычно возникает необходимость совершенствования построенной модели, а в ряде случаев даже коренной её замены. Для таких задач существенное значение приобретает обработка исходной информации. Это в большинстве случаев требует привлечения методов математической статистики. Математические модели сыграли важную роль в развитии естествознания; в настоящее время использование математических моделей является существенным фактором в широком диапазоне человеческой деятельности (в том числе в вопросах управления, планирования, прогнозирования и т.д.).

Изучение реальных явлений на основе анализа построенных моделей, как правило, требует развития численных методов и привлечения ЭВМ. Таким образом, в вычислительной математике важное место занимают численные методы решения поставленных математических задач и в первую очередь типовых математических задач.

В качестве примера типовых математических задач, часто встречающихся в приложениях, можно назвать задачи алгебры: здесь большое значение имеют численные методы решения нелинейных уравнений, а также систем линейных алгебраических уравнений (в частности, больших систем). Другие примеры — численные методы дифференцирования и интегрирования функций одного или нескольких переменных; численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (сюда включают, в частности, изучение и сравнительный анализ численных методов различных типов, например, Адамса, Рунге — Кутта). Значительное число исследований посвящено численным методам решения уравнений с частными производными. Здесь большое направление составляют «экономичные методы», т. е. методы, позволяющие получать результаты при относительно малом (экономном) числе операций.

2

Применение ЭВМ непрерывно расширяет круг пользователей и поэтому возникает тенденция такой степени автоматизации, при которой становится менее существенным знакомство пользователей с численными методами. Это предъявляет новые требования к алгоритмам, их классификации и к стандартным программам решения типовых задач.

В настоящее время выделился ряд направлений прикладной науки, где современные темпы научно-технического прогресса были бы немыслимы без развития численных методов и применения ЭВМ.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т.е. к действиям, которые выполняет ЭВМ. Решение математической задачи, полученное численным методом, обычно является приближенным по отношению к исходной аналитической задаче, т.е. содержит некоторую погрешность. Это происходит потому, что численным методом обычно решается некоторая другая, более простая задача, аппроксимирующая (приближающая) исходную задачу. Исследованию погрешности численных методов уделяется значительное внимание.

Это вовсе не означает, что численные методы исследования объектов и процессов окружающего мира хуже аналитических. Практически любое решение, основанное на использовании моделей, является приближенным. И численные, и аналитические методы исследования имеют свои сильные и слабые стороны, свои области применения, в которых каждый из подходов наиболее эффективен.

Результат решения подавляющего большинства задач неизбежно содержит погрешности. Некоторые из них принципиально не удается устранить, устранение других нецелесообразно с учетом реальных требований потребителя.

3