СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

т.е. дисперсия есть математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины. Пользуются символами .

Опираясь на формулы для дисперсии, можно доказать такие свойства дисперсии.

1с) .

2с) .

3с)

.

Величину называют корреляционным моментом случайных величин и .

Для вычисления по опытным данным используют формулу

.

Пары наблюдались в опытах.

Если , то случайные величины и называют некоррелированными.

5) Моменты случайной величины

Сам термин и способ построения заимствовал из механики (статические, центробежные моменты, моменты инерции).

Начальным моментом порядка называется число

.

Очевидно .

Центральным моментом порядка называется число

.

,

.

Центральные моменты выражаются через начальные.

.

Мы получили часто используемую формулу, связывающую дисперсию, начальный момент 2^го порядка и математическое ожидание.

.

– для дискретных случайных величин.

– для непрерывных случайных величин.

Чем больше моментов мы рассматриваем, тем подробнее информация о случайной величине. Однако, надежно вычислить по опытным данным моменты высоких порядков бывает затруднительно. Поэтому в практических задачах моменты выше четвертого порядка не рассматриваются.

Важным является центральный момент 3^го порядка.

,

.

Он характеризует асимметрию плотности вероятности.

Но величина размерная и поэтому «чувствительна к изменению масштаба» (в том числе и к рассеиванию).

Поэтому вводят безразмерную величину коэффициент асимметрии

.

Точно также вместо вводят величину, называемую эксцессом

.

Эксцесс характеризует остроконечность распределения по отношению к нормальному закону.

Пример 1. Найти дисперсию случайной величины , если дан ряд распределения.

	1	2	5
	0,3	0,5	0,2

Решение. 1) Найдем математическое ожидание:

.

2) Найдем все возможные значения квадрата отклонения:

,

,

.

	1,69	0,09	7,29
	0,3	0,5	0,2

.

Другой способ

,

.

	1	4	25
	0,3	0,5	0,2

,

,

.

Пример 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , заданной функцией распределения

Математическое ожидание. , возможные значения случайных величин лежат от до по только на , вне этого интервала = 0.

.

Дисперсия

.

Повторение испытаний. Формула Бернулли

Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых событие может появляться с одной и той же вероятностью – .

Такая схема испытаний называется «схемой испытаний Бернулли». Требуется вычислить вероятность того, что в указанной серии опытов событие появится ровно раз. Ясно, что . Еще говорят, что – вероятность успехов при испытаниях.

Пример. Производится 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна . Какова вероятность поражения цели ровно двумя выстрелами?

Решение. Пусть – попадание при -ом выстреле. – событие 2 успеха при 3^х выстрелах.

?

,

где .

Обобщим на успехов в опытах и получим следующую формулу вероятности успехов в опытах по схеме Бернулли.

Это и есть формула Бернулли.

Биномиальное распределение

Говорят, что случайная величина, выражающая число успехов в схеме испытаний Бернулли имеет биномиальное распределение

.

Для биномиального распределения можно вывести числовые характеристики.

целое число от .

,

,

.

Продолжим рассмотрение предыдущего примера и получим ряд распределения для , а также числовые характеристики.

;

;

;

.

	0	1	2	3
	0,064	0,288	0,432	0,216

Числовые характеристики

– это значит случайная

величина соответствует наибольшей вероятности;

– среднее число успехов;

;

.

Число , которому при заданном соответствует максимальная биномиальная вероятность называется наивероятнейшим числом появления события . При заданных и это число определяется неравенствами

.

Если число не является целым, то равно целой части этого числа

.

Если же – целое число, то имеет два значения

и .

Пример. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий.

Решение. По условию , , . Составляем двойное неравенство:

,

22.

Замечания:

1. Если требуется вычислить вероятность того, что число успехов при испытаниях заключено между натуральными числами и , то, воспользовавшись независимостью испытаний и теоремой сложения вероятностей, получим следующую формулу

.

2. Вероятность получения хотя бы одного успеха при испытаниях можно найти, используя противоположное событие:

.

Пример. Симметричную монету бросают шесть раз. Определить вероятность выпадения цифры:

а) ровно 4 раза

.

б) не более 3^х раз

.

в) хотя бы один раз

.

Когда число независимых испытаний велико, вычисление по формуле Бернулли затруднительно, т.к. требует вычисления факториалов больших чисел. В дальнейшем мы получим асимптотические формулы, используемые при больших .

Распределение Пуассона

Пусть в схеме испытаний Бернулли

1) ;

2) ;

3) (можно ).

Что произойдет с биномиальным распределением?

.

– распределение Пуассона.

Это распределение однопараметрическое (параметр а).

Числовые характеристики распределения Пуассона найдем тоже предельным переходом.

То, что , можно использовать как подтверждение пуассоновского распределения.

Если по опытным данным

,

то это будет свидетельствовать в пользу гипотезы о пуассоновском распределении.

Как следует из предыдущего, при определенных условиях

.

Это выполняется, когда порядка нескольких сотен, а . Иногда закон Пуассона называют законом редких явлений.

Распределение Пуассона является точным в следующей задаче:

Пусть на оси х случайным образом размещены точки с выполнением следующих условий.

1) Вероятность попадания любого заданного числа точек на отрезок длиной зависит лишь от и не зависит от положения отрезка на оси х – однородность.

2) Точки расположены так, что вероятность иметь любое заданное число точек на каком-либо отрезке не зависит от того, сколько точек попало на любой другой отрезок, не пересекающийся с первым – независимость.

3) Точки расположены по одной – ординарность.

Пусть требуется определить вероятность того, что отрезок длиной содержит ровно точек. Количество точек здесь распределено по закону Пуассона. Если – средняя плотность точек, то и искомая вероятность

.

Если рассматривать события, происходящие во времени, то тогда мы имеем поток событий, т.е. последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

Примеры:

• поступление вызовов на АТС;

• прибытие клиентов в мастерскую бытового обслуживания;

• последовательность отказов элементов в приборе.

Тогда вышеприведенные условия получают другие названия.

1) однородность стационарность;

2) независимость отсутствие последствия;

3) ординарность ординарность.

Такой поток называют простейшими (пуассоновскими).

Число называют интенсивностью потока – это среднее число событий появляющихся в единицу времени.

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно 2^м. Найти вероятность того, что за пять минут поступит 2 вызова.

Решение. , выз., мин.

.

Событие практически невозможное.

Равномерное распределение

Это распределение, плотность вероятности которого определяется так:

Величину этой можно найти из таких соображений.

Площадь прямоугольника равна 1, основание его – , значит .

Его еще называют распределением с постоянной плотностью.

Найдем числовые характеристики.

– нет (амодальное распределение).

.

.

, , коэффициент асимметрии равен нулю, т.к. распределение симметричное.

.

.

плосковершинность.

Вероятность попадания в заданный интервал .

– соответствует геометрической вероятности.

Пример. Поезда данного маршрута трамвая идут с интервалом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени. Какова вероятность появления пассажира не ранее, чем через минуту после ухода предыдущего трамвая и не позже, чем за две минуты до отхода следующего?

.

Экспоненциальное распределение

Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , которое описывается плотностью

где – постоянная положительная величина.

Мы видим, что экспоненциальное распределение определяется одним параметром .

Найдем функцию распределения экспоненциального закона.

.

Вычислим числовые характеристики экспоненциального распределения.

.

.

.

– это есть математическое ожидание.

.

.

.