3.3. Дизъюнкция (логическое сложение)

Операция дизъюнкциисоответствует союзу "или", обозначается символами "" или "+". По определению истинно, когда хотя бы один из аргументовx₁иx₂является истинным (табл.3.3).

Таблица 3.3
х1	х2
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Пример

Высказывание х₁: "В течение 10 минут на остановку подъедет автобус 1-го маршрута". Высказываниех₂: "В течение 10 минут на остановку подъедет автобус 2-го маршрута". Дизъюнкция этих двух высказываний: "В течение 10 минут на остановку подъедет автобус 1-го или 2-го маршрута".

Вопросы и задания

3.7. Составьте схему электрической цепи, состоящей из идеального источника напряжения Е и сопротивления R. Сформулируйте несколько способов образования новой электрической цепи (путем добавления сопротивлений R и/или источников напряжения E), в которой проходящий через источник ток в два раза больше, чем в исходной. Сформулируйте сложное высказывание, описывающее все предложенные способы.

3.8. По условиям задачи 3.5 составьте сложные высказывания, описывающие условия получения оценок 4 и 1.

3.9. Приведите пример теоремы, в условии которой содержится дизъюнкция.

3.4. Импликация (логическое следование)

Операция импликациисоответствует построению "если …, то …", "из … следует …" и обозначается символом "=>" . Нетрудно заметить, что данное построение очень часто используется при формулировке различных теорем. Теорема содержит условие (х₁) и заключение (х₂). Формулировка теоремы обычно выглядит следующим образом: еслих₁истинно, тох₂тоже истинно.

Рассмотрим построчно таблицу соответствия для операции импликации (табл.3.4).

Таблица 3.4
х1	х2
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Первая строка: "Из ложного х₁следует ложноех₂– это логично (истинно)". Т.е. из ложных предпосылок сделан ложный вывод.

Вторая строка: "Из ложного х₁следует истинноех₂– это истинно". На первый взгляд это вызывает некоторое недоумение. Однако, эта строка утверждает только то, что правильный вывод может быть сделан и на основе ложных предпосылок (в том числе и случайно). Поясним это примером.

Пример

1. "5=2·2 и 5·2=8" – ложное высказывание х₁. Подставим во вторую часть этого ложного высказывания "5·2=8" значение "5" из первой части "(5=2·2)·2=8" и получим вывод х₂: "(2·2)·2=8", который является истинным высказыванием.

2. "На Луне есть атмосфера" – ложное высказывание х₁. Если речь идет о присутствии (или отсутствии) на Луне атмосферы, то вполне логично предположить, что речь идет о планете. Отсюда можно сделать вывод, что Луна является планетой. "Луна является планетой" – истинный вывод х₂, полученный из ложной предпосылки х₁.

Третья строка: "Из истинного х₁следует ложноех₂– это ложь". Из истинных предпосылок корректными методами нельзя получить ложное заключение.

Четвертая строка: "Из истинного х₁следует истинноех₂– это истина". Смысл этой строки очевиден.

Операция импликации описывает достаточные, но не необходимые условия теоремы.

Вспомним, что математическая логика не занимается исследованием содержания высказываний, а рассматривает их только с точки зрения истинности и ложности. Поэтому с формальной точки зрения одно истинное высказывание может быть заменено другим истинным независимо от их содержания. При этом могут образовываться совершенно не связанные между собой высказывания с точки зрения смыслового содержания.

Пример

Высказывание х₁: "Сила тока обратно пропорциональна сопротивлению" – истинное.

Высказывание х₂: "На экзамене есть четыре варианта отметок – отлично, хорошо, удовлетворительно и неудовлетворительно" – также истинное.

Эти высказывания не связаны между собой по содержанию причинно-следственной связью. Однако, с точки зрения математической логики импликация ("Если сила тока обратно пропорциональна сопротивлению, то на экзамене есть четыре варианта отметок – отлично, хорошо, удовлетворительно и неудовлетворительно") является истинным высказыванием.

При аппаратной реализации логических схем замена одного истинного высказывания другим истинным (или ложного другим ложным) уже не выглядит чем-то необычным. Вспомним, что при аппаратной реализации истинность и ложность характеризуются какой-либо физической величиной, имеющей два возможных состояния (высокое и низкое напряжения в электрических схемах, высокое и низкое давления в пневматических и гидравлических устройствах). Очевидно, что высокое напряжение, соответствующее одному истинному высказыванию, ничем не отличается от высокого напряжения, соответствующего другому истинному высказыванию. Следовательно, такая замена вполне допустима.