СОПРОМАТ / Демин - Сопротивление материалов, 2006

dM (z2 ) = Q(z2 ) . dz2

Участок СD: z3 [0; 3];

Участок DE: z4 [0; 2,3] ;

Q(z4) = 0; М(z4) = −М;

М(z4) = −8 кН м.

По найденным значениям строим эпюры Q и M (рис. 5.4).

34,28 кН

23,28 кН

0,0 кН

31,32 кН

8 кН м

Эпюра М , кН м

Подбор сечения. Для балки постоянного сечения опасным является сечение, в котором действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент. В нашем случае это место находится на расстоянии 4,79

м от левой опоры и Мmax = 123,68 кН м.

Из условия прочности определяем требуемый момент сопротивления и подбираем номер двутавра:

Wx = Mmax R = 123,68 1000 : 160 = 773 см3.

В соответствии с ГОСТ 8510–86, принимаем двутавр № 36, Wx = 743 см3. Перегрузка составляет 4 %, что меньше 5 %.

Задача 6

СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМАЯ РАМА

Задание. Для рамы (рис. 6.1) требуется написать выражения для продольных сил N, поперечных сил Q и изгибающих моментов M на каждом участке в общем виде, построить эпюры N, Q, M и подобрать двутавровое сечение при R = 220 МПа. Данные взять из табл. 5.1.

Рис. 6.1

Пример 6 . Для рамы (рис. 6.2) требуется написать выражения для продольных сил N , поперечных сил Q и изгибающих моментов M на каждом участке в общем виде, построить эпюры N, Q, M и подобрать двутавровое сечение при R = 220 МПа.

Рис. 6.2

Р е ш е н и е.

1 Покажем и определим реакции опор (рис. 6.3):

Рис. 6.3

∑Fx = 0 ;

qс− RG = 0 ;

RG = qс = 2 2 = 4 кН;

∑M K = 0 ;

RF 2a −qc(c +c / 2) − Pa − M = 0 ;

Проверка реакций опор:

∑Fy = 0 ;

RA + P − RF =1+3 −4 = 4 −4 = 0 ;

∑MС = 0 ;

∑MC = RAa + RF a −qc2 / 2 − M − RG a ;

∑MC =1 3 + 4 3 −2 22 / 2 −3 −4 2 = 3 +12 −4 −3 −8 =15 −15 = 0 .

Реакции опор найдены верно.

2 Определяем внутренние усилия N, Q, M на каждом участке: Участок AB: z1 [0; 2];

N(z1) = −RA = −1кН;

Q(z1) = −q z1 ;

Q(0) = 0 ; Q(2) = −4 кН ;

z2 M (z1 ) = −q 21 ;

M (0) = 0 ; M (1) = −1кН м ; M (2) = −4 кН м .

Участок BC: z2 [0; 3];

N (z2 ) = −qc = −2 2 = −4 кН ;

Q(z2 ) = RA =1кН;

M (z2 ) = RA z2 −q c22 ;

M (z2 ) =1 z2 −2 222 = z2 −4 ;

M (0) = −4 кН м ; M (3) = −1кН м ;

Участок CD: z3 [0; 3];

N (z3 ) = −qc = −2 2 = −4 кН ;

Q(z3 ) = RA + P =1+3 = 4 кН;

M (z3 ) = RA (a + z3 ) −q c22 + Pz3 ;

M (z3 ) =1 (3 + z3 ) −2 222 +3z3 = 3 + z3 −4 +3z3 = −1+ 4z3 ;

M (0) = −1кН м; M (3) =11 кН м ;

Участок FD: z4 [0; 2];

N(z4 ) = RF = 4 кН ;

Q(z4 ) = 0 ;

M (z4 ) = 0 ;

Участок GD: z5 [0; 2];

N (z5 ) = 0 ;

Q(z5 ) = −RG = −4 кН;

M (z5 ) = −RG z5 − M ;

M (z5 ) = −4z5 −3 ;

M (0) = −3 кН м ;

M (2) = −11 кН м .

3 По вычисленным значениям строим эпюры N, Q, M (рис. 6.4).

N (кН)

Рис. 6.4

Узловая проверка:

Рис. 6.5

4 Подбор сечения. Ориентировочно подбираем номер двутавра из условия прочности при чистом изгибе, если R = 220 MПа:

Pдоп = Rp = 20 103 = 28,8 кН; σ2 694,4

– из условия прочности на сжатие

Pдоп = Rc = 70 103 = 72,0 кН. σ1 972,2

Окончательно за допускаемую нагрузку принимаем меньшее значение

Pдоп = 28,8 кН.

8) Построим эпюру напряжений от силы Pдоп = 28,8 кН (рис. 7.3):

σ1 = −972,2 28,8 10−3 = −28,0 МПа;

σ2 = 694,4 28,8 10−3 = 20,0 МПа.

Задача 8

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Задание. На рис. 8.1 изображена в аксонометрии ось ломаного стержня круглого поперечного сечения, расположенная в горизонтальной плоскости, с прямыми углами в точках А и В. На стержень действует вертикальная нагрузка. Требуется: 1) построить отдельно (в аксонометрии) эпюры изгибающих и крутящих моментов; 2) установить опасное сечение и найти для него расчетный момент по III теории прочности. Данные взять из табл. 8.1.

1)В первую очередь необходимо для каждого из стержней назначить оси координат. Обычно ось z направляют вдоль оси каждого участка.

2)Определяем изгибающие моменты M x на каждом участке и стро-

им эпюру Мx (рис. 8.3).

Участок EA: z1 [0; 1,3 A];

M x (z1) = qAz1;

M x (0) = 0; M x (1,3A) =1,3qA2 .

Участок AB: z2 [0; A];

M x (z2 ) = qAz2 ;

M x (0) = 0; M x (A) = qA2 .

Участок DB: z3 [0; A];

z2

M x (z3 ) = −q 23 ;

M x (0) = 0; M x (A) = −0,5qA2 . Участок BC: z4 [0; 1,3 A];

M x (z4 ) = qA(A+ z4 ) −qAz4 ;

M x (0) = qA2 ; M x (1,3A) = qA2 .

3) Определяем крутящие моменты M z на каждом участке и строим эпюру Мz (рис. 8.4).

Участок EA: M z = 0.

4)Изгибающие моменты Му на всех участках отсутствуют, так как все силы параллельны оси у.

5)Показываем возможные опасные сечения (рис. 8.5). Вычисляем рас-

Рис. 8.5

Опасным является третье сечение, Mр =1,64ql2 .

Задача 9 РАСЧЕТ КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ

Задание. Для криволинейного стержня (рис. 9.1) построить эпюры M, Q, N и найти нормальные напряжения в опасном сечении. Данные взять из табл. 9.1. Формы поперечных сечений изображены на рис. 9.2.

Пример 9 : Для криволинейногоРис. 9.2 стержня (рис. 9.3) построить эпюры Q, N, M и найти нормальные напряжения в опасном сечении, если: P = 1,2 кН; r = 16 см; α = 45°. Сечение имеет форму трапеции с размерами: h = 6 см; b1 = 3 см; b2 = 6 см (рис. 9.5. Все размеры на рисунке указаны в сантиметрах).

Р е ш е н и е:

1) Определим вертикальную и горизонтальную составляющие силы Р: