2 курс допол. информ. для ИСУ / isu

ражающей рост, стабилизацию и падение спроса на данный товар, но и харак-

теризующей степень ускорения или замедления этих процессов, и в оценке с помощью построенных моделей длительности каждого этапа ЖЦТ, определе-

нии точки насыщения рынка и предсказании момента начала спада спроса. В

каждом конкретном случае моделирование ЖЦТ должно опираться на тща-

тельное изучение закономерностей спроса.

Каждому этапу ЖЦТ соответствует своя математическая модель [35].

Изучение тенденций и особенностей развития товарных рынков

Статистика рынка – раздел социально-экономической статистики, изу-

чающий состояние и развитие рынка, его масштаб, состав, основные тенденции

изакономерности, зависимость рынка от комплексного воздействия на него факторов различной природы, с одной стороны, и влияния рынка на экономику

исоциальную жизнь – с другой стороны [35].

Предмет статистики рынка – массовые явления и процессы рыночной деятельности, имеющие количественную оценку.

Важнейшей задачей статистики рынка является изучение рыночной конъ-

юнктуры. В самом общем случае под рыночной конъюнктурой (конъюнкту-

рой рынка) понимают как конкретную экономическую ситуацию, сложившую-

ся на рынке на данный момент или ограниченный отрезок времени (рыночную ситуацию), так и совокупность условий, определяющих эту ситуацию.

Рыночная ситуация характеризуется:

степенью сбалансированности рынка (соотношением спроса и предложе-

ния);

наметившимися, сформировавшимися или изменившимися тенденциями развития рынка;

уровнем устойчивости или колеблемости основных параметров рынка;

масштабами рыночных операций и степенью деловой активности;

уровнем коммерческого риска;

151

силой и размахом конкурентной борьбы;

положением рынка в экономическом или сезонном цикле.

Центральным моментом оценки и анализа рыночной конъюнктуры явля-

ется изучение тенденций и особенностей развития рынка. Для определения век-

тора и скорости развития рынка строятся динамические ряды показателей – ин-

дикаторов рынка и деловой активности. Исчисляются базисные, цепные и сред-

ние за период темпы роста.

Завершается конъюнктурный анализ рынка прогнозированием спроса и предложения. Для разных видов продуктов и услуг используются разные типы моделей спроса. Спрос на продукты питания, например, аппроксимируют функ-

цией Торнквиста 1-го типа y ax , спрос на непродовольственные товары – x b

степенной функцией y axb или экспоненциальной функцией y abx , спрос на

предметы роскоши – функцией Торнквиста 3-го типа y ax ( x b) , а зависи- x c

мость спроса от дохода – логистической кривой y a -cx .

1 bc

Обычно на покупательский спрос влияет сразу несколько факторов, каж-

дый из которых обусловливает определенную эластичность спроса. Таким об-

разом, возникает необходимость в расчете "чистых" коэффициентов эластично-

сти, освобожденных от влияния других факторов. Для "очищения" коэффици-

ентов эластичности используют многофакторные уравнения регрессии, как пра-

вило, линейной формы:

"Чистые" (теоретические) коэффициенты эластичности Эi ( i 1,n ) рас-

считываются по формулам:

Эi bi xyi ,

152

где y – средний уровень спроса, xi – среднее значение i-того фактора.

Классификация товарных рынков по динамике соотношения между предложением и спросом

Предположим, что характер изменения предложения и спроса на некий конкретный вид товаров в анализируемый период времени [t0 ,T] описывается соответственно функциями D(t) и S(t). Тогда темпы роста или снижения пред-

ложения и спроса будут определяться значениями производных функций D(t)

и S(t) по времени t . Граничные значения этих показателей можно обозначить,

например, через L (нижнее) и U (верхнее).

При этих условиях различные типы рынков будут характеризоваться сле-

153

В практических расчетах вместо производных можно использовать пока-

затели темпов роста спроса TD и предложения TS :

Для определения типа рынка необходимо прежде всего установить его территориальные границы. Тип рынка определяется по выбранным видам това-

ров на конкретные периоды времени.

Примеры распределений случайных величин

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся на практике виды распределений. В качестве иллюстрации используем результаты работы генера-

торов случайных чисел системы MATLAB 6.5 1.

Биномиальное распределение (закон Бернулли). Предположим, что

один и тот же опыт проводится n раз, и в каждом случае с вероятностью p

может произойти некоторое событие А. Пусть ξ An – число наступлений собы-

тия А в серии из n таких опытов. С точки зрения теории вероятностей ξ An есть случайная величина, принимающая значения из множества { 0, 1, …, n }. Веро-

Распределение, удовлетворяющее таким условиям, называется биноми-

альным.

Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, имеет следующие характеристики:

n k k n-k

M(ξ ) k Cn p q np ;

k 0

1 Продукт компании "The MathWorks". Мировой стандарт среды для организации вычислений. Поддерживает математические расчеты, визуализацию научной графики и програм-

154

n k k n-k

D(ξ ) (k np) 2Cn p q npq .

k 0

Биномиальное распределение возникает, например, при бросании монет в игре "орел – решка":

С помощью генератора случайных чисел "Binomial" системы MATLAB

можно получить последовательность псевдослучайных чисел, распределенных следующим образом (рис. 8.3):

Рис. 8.3. Биномиальное распределение

( n 10 , p 0,5 )

Равномерное распределение. Равномерное распределение (рис. 7.4) ха-

рактеризуется непрерывной функцией плотности распределения, постоянной внутри отрезка [а, b] и равной нулю вне его. Иначе говоря, все возможные зна-

чения случайной величины, распределенной по этому закону, лежат в пределах отрезка [а, b] и являются равновероятными:

мирование с использованием удобного и легко осваиваемого операционного окружения. Имеет средства имитационного моделирования и анализа систем управления.

155

Нормальное распределение (закон Гаусса). Нормальное распределение

является самым важным и наиболее часто используемым на практике видом непрерывных распределений. Объясняется его значение тем, что, согласно из-

вестной из теории вероятностей центральной предельной теореме, при неко-

торых весьма общих предположениях распределение суммы большого числа случайных величин всегда близко к нормальному распределению.

проходит ось симметрии кривой нормального распределения, а σ – расстояние от оси симметрии до точки перегиба. С ростом величины σ кривая нормально-

го распределения становится более широкой и плоской.

Говорят, что случайная величина ξ имеет стандартное нормальное рас-

пределение, если μ 0 и σ 1 (рис. 8.6). Функция распределения стандартной

Рис. 8.6. Нормальное распределение ("Normal")

157

( μ 0 , σ 1 )

Экспоненциальное распределение. Если вероятность наступления со-

бытия в малом интервале времени t мала и не зависит от наступления других событий, то интервалы времени между последовательными событиями распре-

деляются по экспоненциальному закону (рис. 8.7, "Exponential"):

Рис. 8.7. Экспоненциальное распределение

( μ 1 )

M(ξ ) 1μ , D(ξ ) μ12 .

Экспоненциальному закону подчиняются, в частности, такие явления, как длительность телефонных разговоров, срок службы электронных устройств,

время поступления заказов и т.д. Если, к примеру, ξ – случайная величина, со-

ответствующая времени безотказной работы какого-либо устройства – удовле-

творяет двум следующим условиям: вероятность того, что устройство, рабо-

тающее с момента времени t, выйдет из строя в интервале времени (t, t + t),

равна λ t + о (Δ t), где о (Δ t) – бесконечно малая величина более высокого по-

158

строя в различные непересекающиеся интервалы времени, независимы, то закон распределения ξ будет экспоненциальным с параметром λ .

Главная особенность экспоненциального распределения заключается в том, что если продолжительность какого-либо процесса имеет экспоненциаль-

ное распределение, то время до окончания этого процесса не зависит от того,

сколько времени он продолжался.

Распределение Пуассона (закон Пуассона). Дискретная случайная ве-

личина ξ называется распределенной по закону Пуассона (рис. 8.8, "Poisson")

с параметром λ ( λ > 0), если она принимает значения из множества { 0, 1, 2, …}

Рис. 8.8. Распределение Пуассона

( λ 5 )

M(ξ ) λ , D(ξ ) λ .

Закону Пуассона подчиняются события, вероятность которых при каждом отдельном испытании мала, но число испытаний велико: если мы возьмем се-

рию из m независимых испытаний по схеме "да – нет", "успех – неудача" и т. п.

159

с малой вероятностью появления событий в каждом из них, то с ростом m веро-

ятность того, что мы будем наблюдать появление ожидаемого события n раз,

будет определяться этим законом (поэтому распределение Пуассона иногда также называют распределением редких событий).

Рассмотрим, к примеру, ситуацию, связанную с сервисным обслуживани-

ем бытовой электронной техники, персональных компьютеров и т.п. Предпо-

ложим, что вероятность поступления в сервисный центр одной заявки на ре-

лее чем одной заявки в интервале (t, t + t) равна о ( t ); события, связанные с поступлением заявок в непересекающиеся интервалы времени, независимы. То-

гда общее число заявок, поступивших в организацию в интервале времени (0,t),

будет распределяться по закону Пуассона с параметром λt.

Распределение Пуассона тесно связано с экспоненциальным распределе-

нием: если моменты возникновения событий на некотором интервале времени имеют экспоненциальное распределение, то число событий, приходящихся на каждый такой интервал, будет распределено по закону Пуассона, и наоборот,

если возникновение событий имеет пуассоновское распределение с математиче-

ским ожиданием, равным λ , то временные интервалы между их появлениями будут иметь экспоненциальное распределение с математическим ожиданием λ1 .

В дополнение к сказанному можно также отметить, что распределение Пуассона будет достаточно хорошим приближением биномиального распреде-

ления при n и p 0 , если в качестве λ взять np .

160