2.5. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала.

Рассмотрим график функции двух переменных . Таким графиком будет некоторая поверхность в пространстве. Выберем на ней произвольную точку, причем.

Пересечем поверхность плоскостью . Результатом такого пересечения будет пространственная кривая, которую описывает функция одной переменной. Угловой коэффициент касательной линии к графику функциив точкеравен частной производной

. (2.5.1)

При пересечении поверхности плоскостью , получаем

. (2.5.2)

Таким образом, геометрический смысл частных производных функции двух переменных состоит в том, что они равны тангенсам углов наклона касательных линий к графику функции в заданной точке.

Рассмотрим уравнение плоскости

. (2.5.3)

Эта плоскость проходит через точку и содержит в себе обе касательные линии. В сеченииполучаем уравнение касательной, а в сеченииполучаем уравнение касательной. Таким образом, плоскость (2.5.3) является касательной плоскостью. Вводя обозначения, получаем

(2.5.4)

Таким образом, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных состоит в том, что он равен приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции в заданной точке.

Совершенно аналогично получаются соответствующие результаты для числовой функции нескольких переменных .

Частное приращение функции выражается формулой

.

Частные производные записываются в виде

.

Формулы для частных дифференциалов имеют вид

.

Полное приращение функции равно

.

Полный дифференциал представляет собой сумму всех частных дифференциалов

.

Полное приращение функции и полный дифференциал связаны соотношением

.

2.6. Вычисление производных и дифференциалов сложных функций.

Рассмотрим сложную функцию двух переменных

. (2.6.1)

Если исключить из соотношений (2.6.1) переменные , то получится обычная функция двух переменных. Сложные функции вводят вместо обычных функций, как правило, для того, чтобы упростить громоздкую структуру исходной функции.

Установим правила дифференцирования сложных функций. Дадим приращение первому аргументу. Тогда обе функцииполучат соответствующие частные приращения. Применяя к функцииформулы (2.4.11) и (2.4.13) получим

(2.6.2)

Разделяя первое соотношение (2.6.2) на , переходя к пределу при и учитывая, что , находим первую формулу для производной сложной функции

. (2.6.3)

Совершенно аналогично находится вторая формула для производной сложной функции

. (2.6.4)

Вычислим теперь с помощью формул (2.6.3), (2.6.4) полный дифференциал функции

.

Таким образом, получаем

. (2.6.5)

Это равенство выражает свойство инвариантности формы полного дифференциала, состоящее в том, что структура формулы для полного дифференциала одинакова как для независимых переменных , так и для произвольных функций.

Правила дифференцирования, выражаемые формулами (2.6.3), (2.6.4), остаются справедливым и для большего числа переменных. Например, для сложной функции

,

производная по переменной имеет вид

.

Если случайно окажется, что, например, , то для корректности записи производной приходится использовать вместо символасимвол

.

Для сложной функции

,

производная по переменной будет иметь вид

.

Здесь другие обозначения не требуются (фактически мы имеем функцию одной переменной), а сама производная в этом случае называется полной производной.