1.6. Предел числовой функции одной переменной.

Очевидно, что в отличие от последовательности, у которой может быть только один предел при , у функции одной переменнойможет быть бесчисленное множество пределов. Это могут быть пределы в любой конечной точке –и в бесконечно удаленных точках –.

Сформулируем сначала определение предела функции в бесконечности, поскольку оно по структуре очень похоже на определение предела последовательности.

Число называется пределом функции в бесконечно удаленной точке, если для любого сколь угодно малого положительного числаможно указать такое положительное число, зависящее от, что при всех , удовлетворяющих условию , будет выполняться неравенство.

Математическая символика этого определения такова:

. (1.6.1)

Отметим, что определение охватывает сразу оба возможных варианта – .

Суть этого определения заключается в том, что, начиная с некоторого числа ,все значения функции без исключения окажутся внутри сколь угодно малой окрестности . Неравенствоназывается окрестностью бесконечно удаленной точки

. (1.6.2)

Определение предела в конечной точке звучит следующим образом.

Число называется пределом функции в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числаможно указать такое положительное число, зависящее от, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство.

Математическая символика этого определения такова:

. (1.6.3)

1.7. Предел числовой функции нескольких переменных.

Сформулируем здесь определения предела для функции нескольких переменных в точке и в бесконечности.

Число называется пределом функции двух переменныхв точке–, если для любого сколь угодно малого положительного числаможно указать такое положительное число, зависящее от, что при всехудовлетворяющих условиюбудет выполняться неравенство.

Математическая символика этого определения такова:

. (1.7.1)

Отметим, что неравенство геометрически означает внутренность круга радиусас центром в точке. Такое множество тоже является окрестностью радиусас центром в точке

. (1.7.2)

Число называется пределом функции двух переменныхв бесконечно удаленной точке –, если для любого сколь угодно малого положительного числаможно указать такое положительное число, зависящее от, что при всехудовлетворяющих условиюбудет выполняться неравенство.

Математическая символика этого определения такова:

.(1.7.3)

Неравенство называется окрестностью бесконечно удаленной точки радиуса

. (1.7.4)

1.8. Бесконечно малые, ограниченные, бесконечно большие и отделимые от нуля величины.

Мы рассмотрели понятие предела пяти математических объектов:

1. Числовой последовательности при .

2. Числовой функции одной переменной при .

3. Числовой функции одной переменной при .

4. Числовой функции двух переменных в точке .

5. Числовой функции двух переменных в бесконечности.

Структура всех определений предела одинакова и различается только областью изменения аргумента.

Поэтому целесообразно обобщить эти пять объектов в одно новое понятие и назвать величиной любой из следующих объектов:

1. Числовую последовательность при .

2. Числовую функцию одной переменной при .

3. Числовую функцию одной переменной при .

4. Числовую функцию двух переменных при .

5. Числовую функцию двух переменных при .

Обозначают величины как обычные функции – . Аргументx расшифровывается по смыслу текущей задачи. Определение предела величины формулируется следующим образом.

Число называется пределом величины–, если для любого сколь угодно малого положительного числав соответствующей области будет выполняться неравенство.

Математическая символика этого определения такова:

. (1.8.1)

Величина называется бесконечно малой (БМВ), если её предел равен нулю

, (1.8.2)

или в соответствующей области выполняется неравенство .

Обычно БМВ обозначают начальными буквами греческого алфавита.

Теорема 1 (о связи БМВ с величиной, имеющей конечный предел).

Всякая величина, имеющая конечный предел, отличается от него на БМВ.

Доказательство:

Пусть .

По определению в соответствующей области выполняется . Обозначим. Тогдаи, следовательно– БМВ, что и требовалось доказать.

Величина называетсяограниченной на множестве А, если

. (1.8.3)

Теорема 2 (о связи ограниченной величины и величины, имеющей конечный предел).

Всякая величина, имеющая конечный предел, является ограниченной в соответствующей области.

Доказательство:

.

Обратная теорема не имеет места: , ноне существует.

Величина обратная к БМВ называется бесконечно большой величиной(ББВ).

Если – БМВ, то– ББВ и наоборот. Поэтому часто пишут символические равенства.

Всякая ББВ является неограниченной величиной. Обратное утверждение неверно.

Например, приявляется неограниченной величиной, но не ББВ.

Величина называетсяотделимой от нуля на множестве А, если

. (1.8.4)

Теорема 3 (о связи отделимой от нуля и ограниченной величин).

Величина, обратная отделимой от нуля, является ограниченной.

Доказательство:

.

Теорема 4 (об устойчивости знака величины, имеющей ненулевой предел).

Всякая величина, имеющая конечный ненулевой предел, отделима от нуля и принимает на соответствующем множестве значения только того знака, что и знак предела.

Доказательство:

1. Пусть . Выберем, тогда будем иметь

.

Что и требовалось доказать.

2. Случай, когда доказать самостоятельно.