1.2. Числовая функция нескольких переменных.

Отображение называетсячисловой функцией нескольких переменных, если и . Обозначается функция нескольких переменных –, множествоX называется областью определения функции, множество Y – множеством значений функции. При получаем функцию двух переменных –или.

На практике функции нескольких переменных часто называют скалярными полями (поле электростатического потенциала, нестационарное температурное поле в неравномерно нагретом теле и т.д.).

Функция двух переменных в пространствеимеет график. Этим графиком является множество точек

, (1.2.1)

определяющее некоторую поверхность в пространстве.

Иногда уравнение поверхности удобно представлять в неявном виде

.

Если его можно разрешить относительно переменной z, то получится функция двух переменных

.

Например, уравнение сферы радиуса r с центром в начале координат имеет вид

.

Если его разрешить относительно z, то получим две функции

.

Первая функция определяет верхнюю полусферу, вторая – нижнюю.

1.3. Числовая последовательность.

Отображение , гдеN – множество натуральных чисел, а , называетсячисловой последовательностью. Таким образом, числовая последовательность это функция натурального аргумента и обозначают ее с помощью индексов – .

Например,

Выражение называется общим членом последовательности.

Дадим несколько определений.

1. Последовательность называетсяограниченной сверху, если

2. Последовательность называетсяограниченной снизу, если

3. Последовательность называетсяограниченной, если все её члены лежат в некотором конечном интервале.

4. Последовательность называется монотонно возрастающей (неубывающей), если .

5. Последовательность называется строго возрастающей, если .

6. Последовательность называется монотонно убывающей (невозрастающей), если .

7. Последовательность называется строго убывающей, если .

Замечание.

В этих определениях числа М и m называются соответственно верхней и нижней границами последовательности . Таких границ можно указать сколько угодно много. Наименьшее из всех значенийМ называется точной верхней границей, а наибольшее из всех значений m – точной нижней границей .

1.5. Предел числовой последовательности.

Рассмотрим числовую последовательность . Фактически с ней можно выполнять две операции:

1. Вычислять члены последовательности при различных n.

2. Выяснять поведение последовательности при неограниченном увеличении n.

В последнем случае возможны три варианта:

1. Члены последовательности будут стремиться к бесконечности.

2. Члены последовательности будут совершать бесконечные колебания.

3. Члены последовательности будут стремиться к конечному числу.

В последнем случае говорят о существовании предела последовательности.

Определение предела последовательности формулируется следующим образом.

Число называетсяпределом последовательности если для любого сколь угодно малого положительного числаможно указать такое натуральное число, зависящее от этого, что при всехвыполняется условие.

Математическая символика этого определения такова:

. (1.5.1)

Суть этого определения заключается в том, что, начиная с некоторого номера ,все члены последовательности без исключения окажутся внутри сколь угодно малого симметричного интервала . Такой интервал называется окрестностью точки, радиуса –. Обозначается это так

. (1.5.2)

Теорема (о единственности предела). Всякая числовая последовательность может иметь не более одного предела.

Доказательство:

Для доказательства предположим, что последовательность имеет более одного предела

.

Воспользуемся определением для первого предела

.

Воспользуемся определением для второго предела

.

Обозначим . Тогда приоба неравенства будут выполняться одновременно и их можно сложить

Пользуясь известным числовым неравенством , получим

.

Таким свойством (быть меньше любого заранее заданного положительного числа) обладает только нуль. Следовательно , что и требовалось доказать.

Пример.

Доказать, что .