2.20. Формулировка задачи линейного программирования

В задаче линейного программирования требуется найти экстремум линейной целевой функции

, (2.20.1)

при ограничениях

(2.20.2)

Здесь – заданные постоянные величины. Соотношения (2.20.1), (2.20.2) представляют собой запись общей задачи линейного программирования в развернутой форме. Вектор, удовлетворяющий системе ограничений (2.20.2), называется допустимым решением, или планом задачи линейного программирования. Ограничения (2.20.2) определяют область допустимых решений, или планов задачи линейного программирования.

План (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции (2.20.1), называется оптимальным планом (оптимальным решением) задачи линейного программирования.

Канонической формой записи задачи линейного программирования называют задачу вида

, (2.20.3)

при ограничениях

(2.20.4)

Существует еще векторная и матричная формы записи этой задачи, но для ее решения на компьютере они не пригодны.

Приведение задачи линейного программирования к каноническому виду осуществляется введением в левую часть соответствующего ограничения вида (2.20.2) дополнительной переменной со знаком минус в случае ограничения типа и знаком плюс в случае ограничения типа.

К математическим задачам линейного программирования приводят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (задача о раскрое, смесях, диете и т.д.).

Пример. (Задача о смесях).

Стандартом предусмотрено, что октановое число автомобильного бензина А-76 должно быть не ниже 76, а содержание серы в нем – не более 0,3%. Для изготовления такого бензина на заводе используется смесь из четырех компонентов. Данные о ресурсах смешиваемых компонентов, их себестоимости и их октановом числе, а также о содержании серы приведены в таблице

Характеристика	Компонент автомобильного бензина
	№ 1	№2	№ 3	№4
Октановое число	68	72	80	90
Содержание серы, %	0,35	0,35	0,3	0,2
Ресурсы, т	700	600	500	300
Себестоимость, н.ед./т	40	45	60	90

Требуется определить, сколько тонн каждого компонента следует использовать для получения 1000 т автомобильного бензина А-76, чтобы его себестоимость была минимальной.

Решение:

Пусть – количество в смеси компонента с номеромi. С учетом этих обозначений задача минимума себестоимости принимает вид

Первое функциональное ограничение отражает необходимость получения заданного количества смеси (1000 т), второе и третье – ограничения по октановому числу и содержанию серы в смеси, остальные – ограничения на имеющиеся объемы соответствующих ресурсов (компонентов). Прямые ограничения очевидны, но принципиально важны для выбора метода решения.

Полученная математическая задача – задача линейного программирования. Она может легко решается на компьютере средствами Excel. В результате решения получается оптимальное решение .

55