2.12. Формула Тейлора.

Рассмотри произвольный многочлен степени n в окрестности точки

(2.12.1)

Установим связь между коэффициентами многочлена и его производными. При имеем

.

Продифференцируем равенство (2.12.1)

. (2.12.2)

Полагая , получим

.

Продифференцируем равенство (2.12.2)

. (2.12.3)

Полагая , находим

.

Продифференцируем равенство (2.12.3)

. (2.12.4)

Полагая , находим

.

Очевидно, что после дифференцирования многочлена k раз и подстановки , получится

.

Таким образом общая формула для коэффициентов многочлена будет иметь вид

. (2.12.5)

Здесь из соображений симметрии и компактности записи принято

.

Формулы (2.12.5) определяют коэффициенты Тейлора для многочлена в окрестности точки .

Теперь соотношение (2.12.1) принимает вид

, (2.12.6)

или в компактной форме

. (2.12.7)

Выражения (2.12.6) и (2.12.7) называются формулами Тейлора для многочлена.

Рассмотрим теперь произвольную функцию , дифференцируемую нужное количество раз. Построим для нее многочлен Тейлора

. (2.12.8)

Функция и многочлен Тейлора не равны между собой, а соответствуют друг другу. Выясним степень этого соответствия при различных степенях n.

При получаем прямую линию, пересекающую график. Приполучаем касательную в точке. Приполучаем параболу, огибающую график функции. Чем выше степень многочлена, тем более близки оказываются графики функции и многочленов.

Обозначим разность функции и многочлена Тейлора

.

Величина представляет собой погрешность в вычислениях при замене функции на многочлен. Таким образом, получаем

, (2.12.9)

формулу Тейлора для функции. Величина называется –остаточный член формулы Тейлора, а величины

, (2.12.10)

называются коэффициентами Тейлора для функции .

Для остаточного члена формулы Тейлора существует несколько форм представления. Укажем здесь две наиболее часто встречающиеся классические формы

, (2.12.11)

– остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано, и

, (2.12.12)

– остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Введем обозначения . Подставляя их в формулу (2.12.9) получимдифференциальную форму формулы Тейлора

(2.12.13)

2.13. Представление некоторых функций по формуле Тейлора.

Рассмотрим представление по формуле Тейлора некоторых основных элементарных функций.

1.

Вычислим ее производные

.

В точке находим

Формула Тейлора имеет вид

. (2.13.1)

2.

Вычислим ее производные

.

Производная четвертого порядка совпадает с исходной функцией, далее идут вычисления по циклу.

В точке находим

.

Формула Тейлора имеет вид

. (2.13.2)

3.

Вычислим ее производные

.

Производная четвертого порядка совпадает с исходной функцией, далее идут вычисления по циклу.

В точке находим

.

Формула Тейлора имеет вид

. (2.13.2)

4.

Вычислим ее производные

.

В точке находим

.

Формула Тейлора имеет вид

. (2.13.2)

5.

Выполнить самостоятельно.

2.14. Приложения формулы Тейлора к исследованию функций

Формула Тейлора позволяет представлять произвольную функцию в виде многочлена и остаточного члена, который в достаточно малой окрестности точки не играет существенной роли. Поэтому многие свойства произвольной функции можно выявить из известных свойств соответствующего многочлена. Рассмотрим некоторые важные примеры применения формулы Тейлора.