Задание 3.2. Транспортная задача

Компания имеет два товарных склада и двоих оптовых покупателей. Известно, что общий объем запасов на складах составляет 30 единиц продукции и совпадает с общим объемом заказов покупателей. Конкретные данные о загруженности каждого из складов (в тыс. ед.), потребности каждого покупателя (в тыс. ед.) и стоимости перевозки (тыс. руб.) приведены в таблице.

На пересечении столбцов и строк цифры указывают стоимость перевозок с соответствующего склада соответствующему потребителю. Графа «Наличие» означает емкость склада, а графа «Запрос» – заказ каждого потребителя.

	Bl	B2	Наличие
Al	1	2	20
А2	2	1	10
Запрос	16	14	30

Отметим, что сумма данных в строке «Запрос» и «Наличие» совпадает.

Указания:

Транспортная задача является классической задачей исследования операций. Множество задач распределения ресурсов сводится именно к этой задаче. Иногда она называется также задачей о перевозках, так как цель этой задачи заключается в минимизации полной стоимости перевозок известного количества товаров со складов к потребителям.

По критерию стоимости эта задача формулируется следующим образом.

В пунктах отправления находится определенное количество единиц некоторого однородного продукта. Данный продукт потребляется в пунктах, объем потребления –. Расходы на перевозку единицы продукта из пункта в пункт равныи приведены в матрице транспортных расходов. Требуется составить такой план перевозок, при котором весь продукт вывозится из пунктов в пункты в соответствии с потребностью и общая величина транспортных издержек будет минимальной. Количество продукта, перевозимого из пунктов в пункты , обозначается .

Целевая функция задачи будет иметь вид

а ограничения выглядят следующим образом:

, ,

Эти условия означают полное удовлетворение спроса во всех пунктах потребления, и определяют полный вывоз продукции от всех поставщиков. Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи является условие баланса:

,

при котором транспортная задача называется закрытой.

1. Выбор переменных. Обозначим количество единиц товара перевезенных со склада номерi к покупателю с номером k. Таким образом, имеем четыре неизвестных величины: .

2. Составим целевую функцию стоимости перевозок с обоих складов к обоим покупателям в соответствии с коэффициентами таблицы

3. Составим систему ограничений.

   1. ограничение на наличие товара:

2. ограничение на запрос покупателей:

3. ограничение не отрицательности

Далее задача решается средствами Excel аналогично решению Задания 3.1. Оптимальное решение задачи имеет вид:

.

Задание 3.3. Задача целочисленного программирования

Пятерым следователям нужно поручить расследование пяти уголовных дел. В силу разной квалификации на завершение расследования им потребуется различное время. Время выполнения (в сутках) приведено в таблице. Как следует распределить следователей прокуратуры по заданиям, чтобы минимизировать время выполнения?

Люди	Задания
	10		5		9	18		11
	13		19		6	12		14
	3		2		4	4		5
	18		9		12	17		15
	11		6		14	19		10

Указания:

К задачам целочисленного (дискретного) программированием относятся задачи, в которых на искомые переменные накладывается условие целочисленности, а область допустимых решений конечна. Это продиктовано физической неделимостью многих элементов расчета (например, нельзя построить два с половиной завода, купить полтора автомобиля и т.д.). В таких задачах переменные могут принимать только два значения – единица и нуль.

Пусть – время участия i человека в выполнении j-го задания. Все величины – неотрицательны, и, поскольку каждый человек должен быть полностью задействован, а каждое задание полностью выполнено, величины должны удовлетворять следующим ограничениям:

При этих ограничениях минимизируется полное время

Таким образом, получилась задача линейного программирования транспортного типа. Все суммы по строкам и по столбцам равны 1. Поскольку задача транспортная, в ее оптимальном решении (целочисленном) пять из величин будут равны 1, а остальные – 0. Далее задача решается стандартными средствами Excel.