Метод дотичних
Нехай рівняння f(x) = 0 на відрізку [a;b] має ізольований корінь x*, тобто f(a)f(b) < 0, а функції f(x) і f´(x) неперервні і зберігають знак на [a;b].
Нехайxk–k-е наближення кореня. Розкладемо f(x) в ряд Тейлора в околі точки xk
f(x)
= f(xk)
+ f´(xk)(x-xk)
+
f´´(xk)(x-xk)2
+ …
Замість рівняння f(x)
= 0 розглядатимемо рівняння f(xk)
+ f´(xk)(x-xk)
= 0, яке враховує тільки лінійну відносно
x - xk
частину ряду Тейлора.
Розв’язавши його відносно
x, дістанемо
.
Взявши знайдене значення x за наступне наближення, матимемо
xk+1
= xk
-
,
k = 0, 1, 2, …
. (1)
Формула (1) визначає метод Ньютона. Він має просту геометричну інтерпретацію. Значення xk+1 є абсцисою точки перетину дотичної
y–f(xk) = f´( xk)(x - xk) до кривої y = f(x) в точці (xk, f(xk)) (мал. 1). Тому метод Ньютона називають ще методом дотичних. З малюнка видно, що послідовні наближення збігаються до кореня x* монотонно.
Мал.
1 ілюструє такі випадки: а)f´´(x)
> 0, f´(x)
> 0; б) f´´(x)
> 0, f´(x)
< 0; в) f´´(x)
< 0, f´(x)
> 0; г) f´´(x)
< 0, f´(x)
< 0.
З
а
початкове наближення у методі Ньютона
слід брати точкуx0
[a;b],
в якій f(x0)f´(x0)
> 0.
Метод Ньютона є методом
послідовних наближень xk+1= φ(xk),
де функція
.
(2)
Достатні умови збіжності методу Ньютона дає така теорема.
Теорема.
Нехай на відрізку [a;b]
функція f(x)
має неперервні із сталими знаками
похідні f´(x)
≠ 0, f´´(x)
≠ 0 і f(a)f(b)
< 0. Тоді існує такий окіл R
[a;b]
кореня x*
рівняння f(x)
= 0, що для будь-якого x0
R послідовність
{xk},
обчислена за формулою (1), збігається до
кореня x*
.
Доведення.
Для доведення збіжності
послідовності {xk}
до кореня x*
досить показати, що
похідна φ´(x)
функції (2) задовольняє умови 0 < |
φ´(x)| ≤ q
< 1 для будь-якого x
R, і взяти
х0 з
околу R
кореня x*
.
Для похідної φ´(x) маємо вираз
φ´(x)
=
.
Оскільки f´´(x) неперервна і відмінна від нуля на [a;b], то існують такі додатні m1 і M2, що
|f´(x)|
m1,|f´´(x)|≤M2 для
будь-яких x
[a;b].
Тоді | φ´(x)|
≤
.
З неперервності функції f(x) випливає, що існує окіл R кореня x* , в якому функція f(x) задовольняє нерівність
,
0 <q <
1.
Внаслідок чого | φ´(x)|
≤ q < 1 для
всіх x
R.
Таким чином, послідовність
{xk},
обчислена за формулою (1), збігається до
кореня x*
, якщо початкове
наближення x0
R.
Теорему доведено.
Оцінимо швидкість збіжності
методу Ньютона. Для цього запишемо
функцію f(x)
в околі точки xk
R за формулою
Тейлора із залишковим членом у формі
Лагранжа
f(x)
= f(xk)
+ f´(xk)(x
- xk)
+
f´´(η)(x
- xk)2,
де η лежить між точками х і xk . Поклавши в ній х = х* і врахувавши, що
f(x*)= 0, дістанемо:
.
Звідси і з (1)маємо
.
Поклавши
M2
=
, m1
=
,(3)
знаходимо
.
(4)
З оцінки (4) випливає, що метод Ньютона збігатиметься до кореня x*, якщо початкове наближення х0 таке, що
,
причому в цьому випадку збіжність є квадратичною. Це означає, що похибка кожного наступного наближення пропорційна квадрату похибки попереднього наближення.
Зокрема, якщо
і
,
то з (4) маємо:
.
Отже, коли наближення хkмає m правильних десяткових знаків, то наступне наближення xk+1 матиме щонайменше 2m правильних десяткових знаків.
Для оцінки k-го
наближення методу Ньютона можна
скористатися формулою (3), в якій m1
=
.
Тоді ітераційний процес можна закінчити,
якщо стане правильною нерівність
,
де
-
наперед задана точність наближенняxk
.
Можна довести, що для методу Ньютона справедлива оцінка
,
де m1іM2 визначаються за формулами (3).
З цієї оцінки видно, що для
досягнення заданої точності
ітераційний процес треба продовжувати
доти, поки для двох послідовних наближеньxk,
xk-1не виконуватиметься нерівність
.
Якщо на відрізку [a;b]
справедлива нерівність M2< 2m1, то
ітераційний процес можна закінчити,
коли виконується умова
.
З формули (2) видно, що чим більше значення |f´(x)| в околі кореня, тим менша поправка додається до попереднього наближення. Тому метод Ньютона зручно застосовувати тоді, коли в околі кореня графік функції y=f(x) має значну крутість. Крім того, методом Ньютона можна знаходити не тільки дійсні корені рівнянь, а й комплексні. Метод Ньютона поширюється і на розв’язування систем нелінійних рівнянь з багатьма невідомими.
Недоліком методу Ньютона є те, що на кожній ітерації треба обчислювати не тільки значення функції f(x), а й значення її похідної f´(x). Обчислення похідної f´(x) може бути значно складнішим від обчислення f(x). У таких випадках похідну f´(xk) замінюють її наближеним значенням
.
Якщо похідна f´(x) мало змінюється на [a;b], то кількість обчислень у методі Ньютона можна зменшити, коли значення похідних f´(xk) у точках xk , k= 1, 2, …замінити значенням f´(x0) у точці x0. Тоді формула (1) набере вигляду
,k = 0, 1, 2, …
(5)
В результаті дістали спрощений метод Ньютона. Геометрично він означає, що дотичні в точках (xk,f(xk))замінюються прямими, паралельними дотичній, проведеній до кривоїy=f(x) у точці (x0,f(x0)).
Приклад. Методом дотичних знайти корінь рівняння
x3+ 1,76439x2+ 2,21584x– 3,31344 = 0
з точністю до 0, 00005 на проміжку [0;1].
З виразів для f´(x) іf´´(x)
f´(x) = 3x2+ 3,52878x+ 2,21584;
f´´(x) = 6x+ 3,52878
знаходимо, що f´´(x)
> 0 і f´(x)
> 0 при довільних x
[0;1],
.
Обчислення подані в таблиці:
|
k |
xk |
f(xk) |
f´(xk) |
|
|
0 1 2 3 4 |
1,00 0,81 0,790 0,78560 0,78544 |
1,67 0,17 0,03 0,0011 0,00000 |
8,74 7,04 6,88 6,8396 |
0,75 0,08 0,01 0,0005 0,00000 |
З таблиці знаходимо, що x* = 0,78544 з точністю до 0,00005.