1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

1) Интегралы вида: .

Чтобы вычислить эти интегралы, следует представить подынтегральное произведение в виде суммы, используя формулы:

,

,

.

Пример

2) Интегралы вида: ,

где R – рациональная функция от тригонометрических аргументов и.

Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций от «обычных» аргументов с помощью соответствующих, в зависимости от вида функции , подстановок:

а)– нечетная функция от.

Подстановка .

б)– нечетная функция от.

Подстановка .

в)– четная функция оти.

Подстановка .

г)– произвольная рациональная функция оти.

Подстановка (универсальная).

Пример

1.8 Интегрирование некоторых иррациональных выражений

1) Интегралы вида ,

где R – рациональная функция своих аргументов; – целые числа; – действительные числа.

Такие интегралы вычисляются с помощью подстановки

,

где s – общий знаменатель дробей .

Пример

2) Интегралы вида: ,

где R – рациональная функция своих аргументов.

Такие интегралы вычисляются с помощью соответствующих тригонометрических или гиперболических подстановок:

_{или – для интеграла ;}

_{или – для интеграла ;}

_{или – для интеграла .}

Пример

3) Интегралы вида ,

где R – рациональная функция своих аргументов.

Такие интегралы вычисляются с помощью выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей заменой переменной

.

В результате замены исходный интеграл приводится к одному из интегралов вида 2).

Пример

.

2 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1 Определение определенного интеграла

Пусть непрерывная функция определена на отрезке. Разобьем этот отрезок наn произвольных частей точками

.

В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку. Черезобозначим разность, которую условимся называтьдлиной частичного отрезка .

Образуем сумму

,

которую назовем интегральной суммой для функции на отрезке, соответствующей данному разбиению отрезкана частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек.Геометрический смысл суммы очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами(еслина отрезке) (рис. 2.1).

Рис. 2.1 Геометрический смысл интегральной суммы и определенного интеграла

Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения:

.

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральных сумм при стремлении к нулю длины наибольшего частичного отрезка разбиения, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения отрезкана частичные отрезки, ни от выбора в каждом из них точки:

.

Функция называетсяинтегрируемой на отрезке . Числаa и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок –отрезком интегрирования. Функция называется такжеподынтегральной функцией, –подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования.

Из определения следует, что определенный интеграл представляет собой некоторое число и не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

Из определения определенного интеграла и рис. 2.1 следует геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной функции по отрезкучисленно равен площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, ограниченной осьюОх, графиком функции и двумя прямымии.

Теорема 2.1 существования определенного интеграла (без доказательства).

Если функция непрерывна на отрезке, то для нее на этом отрезке существует определенный интеграл.

Замечание. Класс интегрируемых функций шире, чем класс непрерывных функций. Например, интегрируемыми являются также кусочно-непрерывные на отрезке функции.