1.6 Интегрирование рациональных функций

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют элементарные функции.

Определение. Функция

,

где – заданные числа (коэффициенты), называетсямногочленом или полиномом или целой рациональной функцией степени n.

Отношение двух многочленов

называется рациональной функцией или рациональной дробью. Рациональная дробь будет правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе , инеправильной в противном случае .

Рассмотрим, как вычисляются интегралы от рациональных дробей.

Если дробь

неправильная, то следует разделить (как обычно, столбиком) числитель на знаменатель. Частное и остатокбудут многочленами, причем степень остаткаменьше степени делителя:

.

Пример

; .

Дробь – правильная, а интегралот многочленалегко берется методом непосредственного интегрирования.

Таким образом, интегрирование неправильной дроби свелось по сути к интегрированию правильной дроби:

.

Поэтому достаточно научиться интегрировать правильные дроби.

Известно (см., например, ч.1, раздел 5.3), что многочлен с действительными коэффициентами может быть разложен на линейные и квадратичные действительные множители:

где – старший коэффициент многочлена. Каждый линейный множитель соответствует действительному корнюкратности, а каждый квадратичный множительсоответствует паре комплексно-сопряженных корнейкратности, причем.

В высшей алгебре доказывается, что всякая правильная дробь может быть единственным образом разложена на сумму так называемых простейших дробей:

,

где – некоторые действительные числа – коэффициенты разложения. Для их определения умножим обе части разложения на и приравняем коэффициенты, стоящие при равных степенях, у многочлена, который получится в правой части разложения и многочлена. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой и найдем неизвестные коэффициенты разложения. Такой метод отыскания коэффициентов разложения правильной рациональной дроби на простейшие дроби называетсяметодом неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить правильную рациональную дробь на простейшие дроби.

Так как , то разложение имеет вид

.

Умножая обе части равенства на , получаем

или

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения:

.

Решение системы , поэтому искомое разложение имеет вид:

.

Замечание. Систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложения можно также получить, придавая последовательно столько различных произвольных значений, сколько имеется неизвестных коэффициентов (в данном примере – три):

,

.

Из изложенного следует, что задача интегрирования правильной рациональной дроби сводится, в свою очередь, к нахождению интегралов от простейших дробей следующих четырех типов:

I) ;II) ;

III) ; IV) .

Дроби I и II типов элементарно интегрируются при помощи подстановки :

I) .

II) .

Для вычисления интеграла от дроби III типа представим квадратный трехчлен в виде

.

Учитывая, что , введем в рассмотрение действительную постоянную. Сделав подстановку, будем иметь:

=

= =

==

= .

Пример

Остается вычислить интеграл от дроби IV типа.

Используя введенные выше обозначения , будем иметь:

Введем обозначения:

Интересующий нас интеграл будет найден, если будут найдены интегралы I и J_k :

.

Интеграл I берется элементарно:

Для вычисления интеграла J_k установим для него рекуррентную (возвратную) формулу, сводящую вопрос о вычислении J_k к вычислению J_k-1 .

Можно записать (при ):

Для вычисления последнего интеграла применим формулу интегрирования по частям:

Находим

.

Из последнего равенства получаем рекуррентную формулу

,

по которой интеграл можно выразить через интеграл, затем, в свою очередь, выразить черези т.д. Процесс вычисленияпродолжаем до тех пор, пока не дойдем до

Итак, нами вычислены интегралы от всех четырех простейших дробей. Установлено, что интегрирование любой рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и конечного числа простейших дробей, интегралы от которых выражаются через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Иными словами, любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.