8.2 Поверхностный интеграл второго рода

Пусть векторная функция

определена и непрерывна на некоторой поверхности в пространстве

Разобьем поверхность произвольным образом наn частей сплощадями (рис. 8.3). В каждой частичной областивыберем произвольную точку и составим сумму

,

где ,– единичная нормаль к поверхностив точке.

Данная сумма называется интегральной суммой для векторной функции в области (на поверхности).

Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей:

.

Рис. 8.3. Разбиение поверхности на частичные области в случае

поверхностного интеграла второго рода

Определение. Поверхностным интегралом второго рода от функции по поверхностиназывается предел интегральных сумм при, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхностина частичные области, ни от выбора в каждой из них точки:

или в другой записи:

,

где векторный элемент поверхности

и скалярное произведение

.

Функция

называется интегрируемой по поверхности , сама–поверхностью интегрирования.

Теорема 8.2 (существования поверхностного интеграла второго рода) (без доказательства). Функция , непрерывная на кусочно-гладкой поверхности, интегрируема по этой поверхности.

Основные свойства поверхностного интеграла второго рода аналогичны соответствующим свойствам поверхностного интеграла первого рода, за исключением свойства 5:

При изменении стороны поверхности интегрирования интеграл изменяет знак (так как переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности на противоположное):

,

где и– стороны поверхности интегрирования.

Простейший физический смысл поверхностного интеграла второго рода – количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность с установившейся скоростью.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению суммы трех двойных интегралов следующим способом.

Если – выражения, полученные из уравнения поверхностиразрешением относительно соответствующих координат;– проекции поверхностисоответственно на плоскости ,,;– единичная нормаль к поверхности в точке (рис. 8.3), то

,

где знаки у двойных интегралов соответствуют знакам направляющих косинусов нормалик поверхности.

Пример. Вычислить поверхностный интеграл второго рода

,

где – верхняя сторона плоскости, отсеченная плоскостямии лежащая в первом октанте (рис. 8.4).

Рис. 8.4. Пример вычисления поверхностного интеграла второго рода

Обозначим через – проекции поверхностина плоскости ,,соответственно. Как видно из рис. 8.4, направляющие косинусы нормали к поверхности, а, так как плоскостьпараллельна осиOy. Следовательно, по формуле вычисления поверхностного интеграла второго рода получим:

.

8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода

Используя выражение для скалярного произведения двух векторов

,

через их координаты

,

получим формулу, выражающую поверхностный интеграл второго рода через поверхностный интеграл первого рода и устанавливающую связь между этими интегралами:

.