6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

В двойном интеграле, как и в определенном, замена переменных – важнейший метод приведения интеграла к виду, более удобному для вычисления.

Наиболее важным для практических приложений частным случаем замены переменных является замена декартовых координат x и y полярными координатами – радиусом-вектором r и полярным углом (переход из декартовой системы координат в полярную)

по формуле

.

Выражение называют обычно элементом площади в полярных координатах.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах, так же как и в полярных, сводится к вычислению повторного интеграла, но только роль переменных играют теперь.

Пример. Вычислить двойной интеграл

,

где G – четверть круга , расположенная в первом квадранте.

Очевидно, что в области G радиус-вектор r изменяется в пределах от 0 до 1, а угол – от 0 до(рис. 6.5).

Тогда получаем

Рис. 6.5. Пример вычисления двойного интеграла в полярных координатах

6.4 Тройной интеграл

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной областитрехмерного пространства.

Разобьем область произвольным образом наn частей с объемами. В каждой частичной областивыберем произвольную точкуи составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой для функции в области.

Назовем диаметром области d наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Например, диаметром области, представляющей собой эллипсоид, будет его удвоенная наибольшая полуось.

Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей:

.

Определение. Тройным интегралом от функции по областиназывается предел интегральных сумм при, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

.

Функция называетсяинтегрируемой в области , область – областью интегрирования, x, y, z – переменными интегрирования, – элементом объема.

Теорема 6.2 (существования тройного интеграла) (без доказательства). Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной области, интегрируема в этой области.

Замечание. Если положить всюду в области , то из определения тройного интеграла легко получить формулу для вычисления объема V области с помощью тройного интеграла

или

.

Основные свойства тройного интеграла аналогичны соответствующим свойствам двойного интеграла.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Свойство 3. Если область интегрирования разбить на две непересекающиеся области и , то интеграл по всей области будет равен сумме интегралов по областям и :

.

Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , то в этой области существует такая точка , что справедлива формула

,

где V – объем области .

6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению одного однократного (определенного) и одного двойного интегралов или к вычислению, в конечном итоге, трех однократных (определенных) интегралов следующим способом.

Пусть область (рис. 6.6) ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью, а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пустьG – проекция области на плоскость, причем всюду в областиG функции инепрерывны и.

Рис.6.6. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Тогда тройной интеграл вычисляется по формуле

,

причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z (при постоянных x и y), а затем внешний двойной интеграл по области G.

Записывая двойной интеграл через один из повторных (см. п. 6.2), получаем

.

Замечание. Аналогичные формулы для вычисления тройного интеграла можно записать и для случаев проектирования области на плоскостии.

Пример. Вычислить тройной интеграл

,

где область интегрирования – пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями(рис. 6.7).

Рис. 6.7. Пример вычисления тройного интеграла в декартовых координатах

Область проектируется на плоскостьв треугольникG, ограниченный прямыми . Полагая

и используя сначала формулу для вычисления тройного интеграла, а затем первую формулу для вычисления двойного интеграла, получим: