6 Кратные интегралы

6.1 Двойной интеграл

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной областиG плоскости Oxy.

Разобьем область G произвольным образом на n частей с площадями(рис. 6.1).

Рис. 6.1. Разбиение области G на частичные области

В каждой частичной области выберем произвольную точкуи составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой для функции в областиG.

Назовем диаметром области d наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей:

.

Определение. Двойным интегралом от функции по областиназывается предел интегральных сумм при, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения областиG на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки:

или в другой записи:

.

Функция называетсяинтегрируемой в области G, область G – областью интегрирования, x и y – переменными интегрирования, – элементом площади.

Теорема 6.1 (существования двойного интеграла) (без доказательства). Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной области, интегрируема в этой области.

Из определения двойного интеграла и рис. 6.2 следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл

численно равен объему криволинейного цилиндра, ограниченного сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции , которая определена в областиG, с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G, а образующие параллельны оси Oz, и снизу – областью G, лежащей в плоскости Oxy.

Рис. 6.2. Геометрический смысл двойного интеграла

Замечание. Если положить всюду в областиG, то из определения двойного интеграла легко получить формулу для вычисления площади S области G с помощью двойного интеграла

или

.

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому сформулируем эти свойства без доказательства.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Свойство 3. Если область интегрирования G разбить на две непересекающиеся области G₁ и G₂, то интеграл по всей области G будет равен сумме интегралов по областям G₁ и G₂:

.

Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной областиG, то в этой области существует такая точка , что справедлива формула

,

где S – площадь области G.

6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определенных интегралов следующим способом.

Пусть область G (рис. 6.3) ограничена кривыми

,

причем всюду на отрезке функцииинепрерывны и. Тогда

,

причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной y, а полученный результат интегрируется во внешнем определенном интеграле по переменной x. При этом интеграл, стоящий в правой части формулы, называют повторным или двукратным интегралом.

Аналогично, если область G (рис. 6.3) ограничена кривыми

,

причем всюду на отрезке функцииинепрерывны и, то

,

причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной x, а полученный результат интегрируется во внешнем определенном интеграле по переменной y.

Рис. 6.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пример. Вычислить двойной интеграл

,

если область интегрирования G ограничена линиями .

Форма области G (рис. 6.4) позволяет применить первую формулу при :

.

Рис. 6.4. Пример вычисления двойного интеграла в декартовых координатах

Если же для вычисления данного двойного интеграла применить вторую формулу, то следует положить

.

Тогда, используя свойство 3 двойного интеграла, получим:

Очевидно, что в данном примере целесообразнее проводить вычисления по первой формуле.

Результаты расчетов, естественно, одинаковы.