3 Визначення закону розподілення інтервалів прибуття поїздів

Показники функціонування транспортних об’єктів залежать не тільки від параметрів вхідного потоку, а й від закону розподілення інтервалів між подіями у потоці. Для визначення закону розподілення випадкової величини не існує формальних методів, тому на практиці користуються евристичними методами. Їх зміст полягає у тому, що на базі статистичного матеріалу, наприклад гістограми, візуально визначається характер розподілення і висувається гіпотеза про можливий закон. Далі ця гіпотеза за допомогою формальних методів перевіряється і робиться відповідний висновок.

Розглянемо цю методику на прикладі визначення закону розподілення інтервалів прибуття поїздів за даними, приведеними в п.1 і 2. Враховуючи неперервний характер випадкової величини І та форму гістограми (рис.2), висуваємо гіпотезу про можливий закон розподілення – Ерланга з параметром К=2.

Щільність ймовірностей для цього закону (диференціальна функція розподілення) виражається формулою:

Для наочності та можливості візуального порівняння статистичного та теоретичного розподілень потрібно подати функцію у графічному вигляді. Для цього потрібно для будь-яких значень І розрахувати f(I) і побудувати графік відповідної функції. На практиці достатньо розрахувати f(I) на межах розрядів та екстремальних точках функції. Розрахунки f(I) належить подати в табличній формі (табл. 3).

Таблиця 3

За результатами розрахунків будується диференціальна функція f(I) закону Ерланга (рис.3).

Слід мати на увазі, що площа фігури, обмежена кривою f(I), як і гістограми, повинна становити одиницю. Якщо візуально видно, що ця площа значно менша або більша площі гістограми, потрібно заново, більш уважно, виконати розрахунки f(I).

Між графіками теоретичного закону f(I) і статистичного розподілення (гістограмою) завжди мають місце деякі розходження, які пов’язані з випадковими відхиленнями або невірним підбором теоретичного закону. Кількісна оцінка розходження теоретичного і статистичного розподілень може бути визначена з допомогою так званих критеріїв згоди, одним з яких є критерій Пірсона ² (хі-квадрат).

Критерій Пірсона розраховується за формулою:

де n – кількість спостережень;

с - кiлькiсть розрядiв статистичного ряду;

P_j - теоретична ймовiрнiсть влучання випадкової величини в окремий розряд статистичного ряду;

В_j - статистична ймовірність (частота) влучання випадкової величини в окремий розряд статистичного ряду.

За змістом теоретична ймовірність P_j являє собою площу, обмежену кривою f(I) у межах окремого, яка може бути визначна таким чином:

де a, b - значення випадкової величини лiвої (а) і правої (b) межi розряду;

F(I) - інтегральна функцiя розподiлення випадкової величини відповідного закону.

Функцiя F(I) закону Ерланга виражається формулою:

і для відповідних значень К має наступні вирази:

К=1	–
К=2	–
К=3	–
К=4	–

Розрахунки для кожного розряду статистичного ряду подаються у вигляді табл.4.

Таблиця 4

З використанням значень B_j та P_j кожного розряду виконують розрахунки елементів суми у формулі для визначення критерія Пірсона ², які подаються у вигляді табл.5.

Таблиця 5

При загальній кількості спостережень n=100 і отриманій величині =0,1153 (табл.5) згідно з визначається Критерій Пірсона:

²=1000,1153=11,53

Теоретично обґрунтовано, що ² є випадковою величиною з відповідним законом розподілення, для якого розраховані ймовірності Р(²) і приведені в спеціальних таблицях Р=f(²;r) [2] або ²= f(Р;r), фрагмент останньої подано в табл. 6.

В табл. 6 приведені значення з відповідними ймовірностями їх перевищенняР(² >) у залежності від кількості степеней свободиr. Величини Р являють собою ймовірність того, що відхилення теоретичного і статистичного розподілень є чисто випадковим. При малій ймовірності (на практиці Р<0.1) відхилення не можна вважати випадковими. При Р>0.1 відхилення вважаються несуттєвими і ними можна нехтувати, тобто висунута гіпотеза про відповідний закон розподілення вважається дійсною.

Т

р

аблиця 6

P r r	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05
4	0.711	1.064	1.649	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49
5	1.145	1.610	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07
6	1.635	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51

Кількість степеней свободи визначається як:

r = с – S – 1

де S - кількість зв’язків теоретичного і статистичного розподілень;

с - кiлькість розрядiв статистичного ряду.

Під зв’язками розуміють параметри теоретичного розподілення, числові значення яких приймають зі статистичних даних. Наприклад, в закон Ерланга входять параметри М[І] та D[І], тобто S=2.

Для статистичного ряду, який має с= 8 розрядів знаходимо:

r = 8 – 2 – 1 = 5

По табл. 6 для Р=0.1 та r=5 маємо .

Таким чином, розрахункове значення ² =11,53 більше від (11,53>9.24) і гіпотеза про розподіл випадкової величини інтервалу прибуття за законом Ерланга з параметром К=2 суперечить дослідним даним.