
ГДЗ Погорелов 7-9 клас / gdz_geometriya_7_klass_pogorelov
.pdf
2) 120о.
№ 6.
Докажите, что серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.
Задача решена в п. 39 учебника (стр. 56).
№ 7.
Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ.
Допустим, окружность с центром О касается прямой в двух точках А и В, таким образом, у треугольника АОВ: ОАВ =ОВА = 90о, а этого не может быть.
Ответ: |
не может. |
№ 8.
Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.
Задача решена в п. 40 учебника (стр. 57).
№ 9.
Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окружности, с касательной в точке А?
103

ОВ = ОА = АВ (по условию), таким образом, ОАВ = 60о (т.к.
∆АВО — равносторонний).
Т.к. ОА а, то BAK = 90о – 60о = 30о.
Ответ: |
BAK = 30о. |
№ 10.
Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, касающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.
ABK = BAK = 30о (из предыдущей задачи)
BKA = 180o – ( BAK + ABK) = 180o – 30o – 30o = 120o (т.к.
сумма внутренних углов треугольника равна 180˚).
BKF = 180o – 120o = 60o (т.к. BKF и BKA смежные).
Ответ: 60о, 120о.
№ 11.
Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Найдите расстояние между центрам окружностей в случаях внешнего и внутреннего касания.
Точки О, А, О1 лежат на одной прямой. Рассмотрим 2 случая 1) Случай внутреннего касания окружностей.
ОО1 = ОА + О1А = 30 + 40 = 70 см
104

2) Случай внутреннего касания окружностей.
О1О = ОА – О1А = 40 – 30 = 10 см Ответ: 70 см, 10 см.
№ 12.
Могут ли касаться две окружности, если их радиусы равны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?
Допустим, они касаются, тогда их центры и точка пересечения лежат на одной прямой и расстояние между центрами равно либо 25 + 50 = 75, либо 50 – 25 = 25, но 75 ≠ 60 и 25 ≠ 60, таким образом, пришли к противоречию.
Ответ: |
не могут. |
№13*.
1)Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — вне прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте ответ.
105

2) Могут ли окружность и прямая пересекаться более чем в двух точках?
1) Допустим, ∆АОВ и ∆ВОС — равнобедренные, таким образом, АО = ОВ = ОС, и А = С = АВО = ОВС, а это возможно лишь если АВО = ОВС = 90о, т.к. они смежные, то есть их сумма равна 180˚ но тогда А = С = 90о, что не может быть, т.к. в этом случае сумма углов треугольника будет боль-
ше 180о.
2)Пусть прямая а пересекает окружность с центром в точке
Охотя бы в трех точках А, В, С. Тогда точки А, В, С принадлежат окружности, и ОА = ОВ = ОС (как радиусы) и лежат на прямой а. Треугольники ОАВ и ВОС — равнобедренные. Но это невозможно (в п. 1 мы это доказали). Значит, предположение не верно, могут пересекаться более чем в двцх точках.
Ответ: |
1) Не могут; |
|
2) Не могут. |
№14*.
1)Окружности с центрами О и О1 пересекаются в точках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна прямой
ОО1.
2) Докажите, что две окружности не могут пересекаться более чем в двух точках.
106

1)Докажем, что АВ ОО1.
В ∆ОАО1 и ∆ОВО1:
ОА = ОВ (как радиусы), О1А = О1В (как радиусы), ОО1 — общая.
Таким образом, ∆ОАО1 = ∆ОВО1 по 3-му признаку равенства треугольников, откуда AOK = KOB, AO1K = BO1K.
В ∆АОВ:
ОА = ОВ, следовательно, ∆АОВ — равнобедренный, AOK =KOB, таким образом, OK — биссектриса, которая является и высотой, т.к.∆АОВ — равнобедренный, то есть OK АВ.
Таким образом, АВ ОО1.
2) Докажем, что окружности не могут пересекаться более чем в двух различных точках.
Допустим, что две окружности с центрами О и О1 пересекаются хотя бы в трех различных точках А, В, С, тогда из п. 1 АС ОО1, АВ ОО1, но это невозможно, так как через данную точку А можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную ОО1.
Таким образом, мы пришли к противоречию.
№15*.
1)Через точку А окружности с центром О проведена прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпендикуляр, опущенный на прямую. На продолжении отрезка АВ отложен отрезок ВС = АВ. Докажите, что точка С лежит на окружности.
107

2)Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
3)Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
1) Так как прямая а не касается окружности, то она пересекает окружность в двух точках.
В ∆АОС:
ОВ — медиана (т.к. АВ = ВС (по условию)) и высота (т.к. ОВа (по условию)). Значит, ∆АОС — равнобедренный. Таким образом, ОА = ОС и таким образом точка С принадлежит окружности.
2)Пусть прямая а имеет с окружностью только одну общую точку А, но не является касательной, т.е. не перпендикулярна радиусу ОА, таким образом, из точки О можно провести к прямой перпендикуляр ОВ, не совпадающий с ОА. На продолжении отрезка АВ отложим отрезок ВС, равный отрезку АВ. Тогда, из п. 1, точки А и С лежат на окружности.Противоречие, т.к. по условию прямая а имеет с окружностью только однук общую точку.
3)Если две окружности касаются в некоторой точке А, то они имеют общую касательную в этой точке.
Пусть точки О1, О, А не лежат на одной прямой, тогда имеем ∆ОО1А. Прямая ОО1 разбивает плоскость на две полуплоскости,
108

в одной из которых лежит точка А. ∆ОО1А = ∆ОО1А1 по 1-му признаку. От луча О1О отложим в другую полуплоскостьА1О1О = АО1О и на нем отложим отрезок ОА1 = ОА. ОА = ОА1, О1А = О1А1, откуда точка А1 является общей точкой обеих окружностей. Противоречие. По условию окружности имеют только одну точку пересечения. Таким образом, точки О, О1, А лежат на одной прямой.
Через точку А проведем прямую а, а ОА. Таким образом, а
— касательная к первой окружности. Так как точки О, О1, А лежат на одной прямой, то О1А а. Таким образом, а — касательная ко второй окружности. Откуда получаем, что окружности касаются в точке А.
№16*.
1)Из одной точки проведены две касательные к окружности. Докажите, что отрезки касательных МР и MQ равны.
2)Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
109

1)В ∆ОРМ и ∆OQM:
ОМ — общая,
ОР = OQ, как радиусы,
ОР МР, OQ MQ (т.к. МР и MQ — касательные). Таким образом, ∆ОРМ = ∆OQM по1-му признаку равенства
треугольников. Откуда МР = МО.
2) Пусть через точку М можно провести три касательных к окружности: МР, MQ, МА. Тогда из п. 1 следует, что МР = MQ = MA, откуда точки Р, Q, А лежат на одной окружности с центром М. Получилось, что две окружности имеют три общие очки. Противоречие. В задаче 14 § 5 мы это доказали. Таким образом, через данную точку нельзя провести более двух касательных к данной окружности.
№ 17.
Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают.
110

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров.
В равностороннем треугольнике биссектрисы являются и медианами и высотами, откуда они являются и серединными перпендикулярами. Значит, центры вписанной и описанной окружности совпадают.
№ 18.
Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сто-
рон в точках А1, В1, С1. Докажите, что AC1 = AB + AC −BC .
2
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.
АС1 = АВ1 (по свойству касательных)
АС1 + АВ1 = АВ – ВС1 + АС – СВ1 = АВ + АС – (ВА1 + СА1) = АВ + АС – ВС = 2АС
Таким образом, AC1 = AB + AC −BC .
2
№ 19.
Постройте треугольник по трем сторонам a, b и с.
111

Задача решена в п. 43 учебника (стр. 58).
№ 20.
Дан треугольник АВС. Постройте другой, равный ему треугольник ABD.
Построение ясно из рисунка.
№ 21.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
Центр окружности будет лежать на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку АВ, на расстоянии, равном r от А и В.
№ 22.
Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.
112