9

Г л а в а 1 Элемены теории погрешностей

§ 1. Источники погрешностей и приближенные числа

Источники и виды погрешностей. Процесс решения задачи с использованием вычислительной техники проходит целый ряд этапов: построение математической модели, разработка или выбор численного метода, разработка алгоритма, программирование, проведение вычислений. Некоторые из этих этапов могут являться источником погрешностей и оказывать тем самым свое влияние на достоверность (точность) окончательного результата. Рассмотрим основные источники погрешностей.

Исходные данные задачи, полученные экспериментально или в ходе расчетов, часто являются основным источником погрешностей.

Используемая при решении задачи математическая модель также вносит погрешность в получаемый результат в виду того, что она является лишь приближенным описанием реального процесса или явления.

Погрешности исходных данных и погрешность математической модели относятся к виду неустранимых погрешностей в том смысле, что в ходе последующих вычислений их нельзя устранить.

Если для решения математической задачи используется приближенный (например, численный) метод, то еще не приступив к вычислениям, мы допускаем новую погрешность, называемую погрешностью метода. Погрешность численного метода регулируема, т.е. теоретически она может быть уменьшена до любого значения. Однако на практике ограничиваются тем, чтобы довести погрешность метода до величины, в несколько раз меньшей неустранимой погрешности. Дальнейшее повышение точности метода не приведет к повышению точности окончательного результата, а лишь увеличит стоимость расчетов из-за увеличения объема вычислений.

При вычислениях с помощью компьютера неизбежны погрешности округлений, связанные с ограниченностью разрядной сетки вычислительной машины. Несмотря на то, что при решении сложных задач выполняются миллиарды и триллионы операций, это вовсе не означает механического умножения погрешности при одном округлении на число операций, так как при отдельных действиях погрешности могут компенсировать друг друга. Вместе с тем иногда погрешности округлений в сочетании с плохо организованным алгоритмом могут сильно исказить результаты или даже привести к абсурдным результатам.

В подтверждение сказанного рассмотрим простой пример¹. Пусть нужно решить систему двух линейных уравнений:

Рассмотрим два способа решения.

Первый способ. Исключая x₁ из первого уравнения: , и подставляя это выражение во второе уравнение, получаем: .

Проводя вычисления с сохранением шести десятичных цифр, получаем , , что совершенно неверно, как видно из второго уравнения системы.

Второй способ. Исключая x₁ из второго уравнения: , получаем для x₂ формулу . После вычислений получаем , – правильное (с точностью до шести десятичных цифр) решение.

Количественные характеристики погрешностей. Погрешность является мерой точности результата. Для количественной характеристики этой меры используют понятия абсолютной и относительной погрешностей.

Пусть x – точное и неизвестное значение какой-либо величины, а – ее известное приближенное значение. Разность этих значений называется ошибкой (или погрешностью) приближенного числа . Точное значение x как правило неизвестно и, следовательно, величина ошибки в этом случае не может быть определена. Однако оказывается, что практически всегда можно указать такое число , которое оценивает сверху модуль погрешности, т.е.

. (1.1)

Эту величину называют верхней границей абсолютной погрешности или просто абсолютной погрешностью приближенного числа . В качестве абсолютной погрешности результатов измерений часто принимают половину цены деления измерительного прибора или среднеквадратичное отклонение (при проведении серии измерений).

Решая неравенство (1.1) получим

.

Для последнего соотношения часто используют запись: .

Сама по себе абсолютная погрешность не достаточна для характеристики точности результата, она должна быть сопоставлена с величиной . Поэтому для более наглядной характеристики точности приближенного значения чаще используют относительную погрешность, которая определяется как отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа , т.е.

. (1.2)

Относительную погрешность часто выражают в процентах.

Приближенные числа. При работе с приближенными числами используют понятия значащих и верных значащий цифр.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Например:

,

,

. Все значащие цифры подчеркнуты.

Значащая цифра приближенного числа называется верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре¹.

Пусть, например, и . Тогда имеет три верные значащие цифры (они подчеркнуты). Оставшиеся значащие цифры (в данном случае это 8 и 3) называются сомнительными.

Количество верных значащий цифр тесно связано с величиной относительной погрешности числа. В частности, если приближенное число содержит N верных значащих цифр, то для относительной погрешности имеет место соотношение . Это позволяет легко оценивать точность приближенного значения. Так, например, если дано число и сказано, что в его записи оставлены только верные цифры, то относительная погрешность этого числа .

При изменении формы записи приближенных чисел (например, при записи в форме с плавающей точкой) количество значащих цифр не должно меняться, т.е. нужно соблюдать равносильность преобразований. Например, записи и равносильные, а записи и неравносильные.

Абсолютную и относительную погрешности обычно записывают в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры. При округлении погрешностей округление всегда производится в большую сторону.

Информацию о том, что число является приближенным значением числа x с абсолютной погрешностью часто записывают в виде

,

причем числа и принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой².

Например, если в ходе вычислений, которые выполнялись с сохранением восьми десятичных знаков, было получено приближенное число и известно при этом, что абсолютная погрешность этого числа , то результат вычислений следует записать в виде

или .

Если же в результате измерений (или вычислений) получено число с абсолютной погрешностью , то этот результат следует записать в виде

.

Информацию о том, что число является приближенным значением числа x с относительной погрешностью записывают в виде

.

Например, записи

,

означают, что .