4. Модифицированный метод Ньютона

Рассмотренный выше метод Ньютона требует вычисления производной на каждом шаге. В некоторых случаях это может существенно снизить эффективность метода (в смысле затрат машинного времени). Поэтому в тех случаях, когда вычисление производной сопряжено с существенными затратами машинного времени, используют модифицированный метод Ньютона, в котором производная вычисляется только в точке начального приближения :

. (2.19)

5. Метод секущих

Еще одна модификация метода Ньютона связана с приближенным вычисление производной в окрестности точки по формуле

.

Подставляя это выражение в формулу Ньютона (2.15), приходим к формуле

, , (2.20)

которая определяетметод секущих. Название метода связано с его геометрической интерпретацией (см. рис. 2.9). Секущая, проведенная через точки и , пересекает ось абсцисс в точке , значение которой определяется формулой (2.20).

Для того, чтобы начать итерационный процесс в методе секущих необходимо задать два начальных приближения: нулевое и первое . На практике как правило поступают следующим образом: нулевое приближение выбирают аналогично выбору начального приближения в методе Ньютона, а в качестве первого приближения выбирают величину , где e – заданная точность. Эти значения используются для нахождения последующего (второго) приближения по формуле (20). Затем, значения и используют для определения третьего приближения и т.д. Для завершения итерационного процесса можно воспользоваться условием (2.14).

Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако он не требует вычисления производной и поэтому оказывается особенно полезным в тех случаях, когда получение аналитического выражения для производной затруднено или невозможно, например, если функции получена в ходе численных расчетов, а не задана аналитически.

По алгоритму метод секущих близок к методу хорд, однако в отличие от последнего начальные приближения в методе секущих могут располагаться как с разных сторон от корня, так и с одной стороны; кроме того при уточнении корня не проверяются знаки функции .

6. Метод простых итераций

Теперь рассмотрим более общий итерационный метод уточнения корней (частным случаем которого является и метод Ньютона). Представим исходное уравнение в виде

. (2.21)

Искомый корень при подстановке его в уравнение (2.21) обращает последнее в тождество .

Пусть нам известно начальное приближение к корню (). Подставив его в правую часть уравнения (2.21) получим новое приближение , затем аналогичным образом получим и так далее,

, . (2.22)

Оказывается, что при определенных свойствах функции последовательность , определяемая по формуле (2.22), сходится к корню уравнения . Необходимо установить при каких условиях итерационный процесс (2.22) будет сходящимся.

В начале рассмотрим графически процесс получения приближений в методе простых итераций (рис. 2.10). Из графиков видно, что при и при возможны как сходящиеся, так и расходящиеся итерационный процессы. Скорость сходимости зависит от абсолютной величины производной . Чем меньше вблизи корня, тем быстрее сходится процесс.

Математически условие сходимости можно установить следующим образом. Представим k-е и (k+1)-е приближения в форме

, ,

где и – отклонения приближений от корня.

Функцию вблизи точки приближенно заменим первыми двумя членами ряда Тейлора. Тогда итерационная формула (2.22) примет вид

,

но поскольку является корнем уравнения, то первые слагаемые в правой и левой частях этого выражения тождественно равны и, следовательно

.

Для сходимости итерационного процесса необходимо, чтобы погрешность на каждом шаге убывала

,

откуда следует, что в окрестности корня должно выполняться условие

. (2.23)

Таким образом, для того чтобы итерационный процесс (2.22) был сходящимся, необходимо, чтобы абсолютная величина производной в окрестности корня была меньше единицы. Если это условие выполняется на отрезке на котором локализован корень, то в качестве начального приближения можно взять любую точку из этого отрезка .

Переход от уравнения (2.1) к уравнению в итерационной форме (2.21) можно осуществить различными способами в зависимости от вида функции . При таком переходе необходимо построить функцию так, чтобы выполнялось условие сходимости (2.23). Рассмотрим один из общих алгоритмов перехода от уравнения (2.1) к уравнению (2.21). Умножим левую и правую части уравнения (2.1) на произвольную константу и добавим к обеим частям неизвестное x. При этом корни исходного уравнения не изменятся

или

. (2.24)

Уравнение (2.24) эквивалентно уравнению (2.21) с функцией . Произвольный выбор константы t позволяет обеспечить выполнение условия сходимости (2.23). Поскольку в данном случае , значение t следует выбирать, так чтобы выполнялось условие

. (2.25)

Желательно выбрать величину t такой, чтобы , тогда сходимость будет двухсторонней (рис. 2.10, в). В этом случае в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать соотношение (2.14).

Ø Замечание. При сходимости последовательных приближение к корню с разных сторон, что имеет место при в окрестности корня (рис. 2.10, в), величина превосходит истинную погрешность т.е. , и критерий окончания итерационного процесса (2.14) является вполне объективным. Если же , то сходимость к корню носит односторонний характер (рис. 2.10, а), и условие может выполниться гораздо раньше нужного требования . В этом случае контроль достигнутой точности лучше осуществлять по проверке неравенства

,

где .<

Наибольшую скорость сходимости в методе простых итераций получим при . Этого можно добиться, если выбрать параметр t зависящим от x в виде

. (2.26)

При этом итерационная формула (2.22) переходит в формулу Ньютона

.

Таким образом, метод Ньютона можно трактовать как частный случай метода простых итераций, обладающий максимальной скоростью сходимости.