2. Метод хорд

Рассматриваемый метод так же, как и метод половинного деления, предназначен для уточнения корня на интервале , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Очередное приближение в отличие от метода половинного деления берем не в середине отрезка, а в точке , где пересекает ось абсцисс прямая линия (хорда), проведенная через точки А и В (рис. 2.6).

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки А и В:

.

Для точки пересечения прямой с осью абсцисс () получим уравнение

. (2.13)

В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбираем тот из двух и , на концах которого функция принимает значения разных знаков. Для рассматриваемого случая (рис. 2.6) выбираем отрезок , так как . Следующая итерация состоит в определении нового приближения как точки пересечения хорды с осью абсцисс и т.д.

Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной точности, т.е.

(2.14)

или при выполнении условия (2.12).

Ø Замечание. Метод половинного деления и метод хорд очень похожи, в частности, процедурой проверки знаков функции на концах отрезка. При этом второй их них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. Кроме этого, оба рассмотренных метода не требуют знания дополнительной информации о функции . Например, не требуется, чтобы функция была дифференцируема. Непрерывность функции гарантирует сходимость этих методов. Более сложные методы уточнения корня используют дополнительную информацию о функции , прежде всего свойство дифференцируемости. Как результат они обычно обладают более быстрой сходимостью, но в то же время, применимы для более узкого класса функций, и их сходимость не всегда гарантирована. Примером такого метода служит метод Ньютона.<

3. Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть нам известно начальное приближение к корню (вопрос выбора начального приближение будет подробно рассмотрен ниже). Проведем в этой точке касательную к кривой (рис. 2.7). Эта касательная пересечет ось абсцисс в точке , которую будем рассматривать в качестве следующего приближения. Значение легко найти из рисунка:

,

выражая отсюда , получим

.

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения. Формула для k+1-го приближения имеет вид

, (2.15)

Из формулы (2.15) вытекает условие применимости метода: функция должна быть дифференцируемой и в окрестности корня не должна менять знак.

Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия (2.12) или (2.14).

Ø Замечание 1. В методе Ньютона, в отличие от предыдущих методов, не обязательно задавать отрезок , содержащий корень уравнения, а достаточно найти некоторое начальное приближение корня .<

Ø Замечание 2. Формула метода Ньютона может быть получена и из других соображений. Зададимся некоторым начальным приближением корня . Заменим функцию f(x) в окрестности точки отрезком ряда Тейлора:

,

и вместо нелинейного уравнения решим линеаризованное уравнение

рассматривая его решение как следующее (первое) приближение к искомому значению корня. Решение этого уравнение очевидно:

Повторяя это процесс приходим к формуле Ньютона (2.15).<

Сходимость метода Ньютона. Выясним основные условия сходимости последовательности значений , вычисляемых по формуле (2.15), к корню уравнения (2.1). Предполагая, что дважды непрерывно дифференцируема, разложим в ряд Тейлора в окрестности k-го приближения

.

Разделив последнее соотношение на и перенеся часть слагаемых из левой части в правую, получим:

.

Учитывая, что выражение в квадратных скобках согласно (2.15) равно , переписываем это соотношение в виде

.

Отсюда

. (2.16)

Из (2.16) следует оценка

, (2.17)

где , .

Очевидно, что ошибка убывает, если

. (2.18)

Полученное условие означает, что сходимость зависит от выбора начального приближения.

Оценка (2.17) характеризует скорость убывания погрешности для метода Ньютона: на каждом шаге погрешность пропорциональна квадрату погрешности на предыдущем шаге. Следовательно, метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью.

Выбор начального приближения в методе Ньютона. Как следует из условия (2.18) сходимость итерационной последовательности, получаемой в методе Ньютона, зависит от выбора начального приближения . Это можно заметить и из геометрической интерпретации метода. Так, если в качестве начального приближения взять точку (рис. 2.8), то на сходимость итерационного процесса рассчитывать не приходится.

Если же в качестве начального приближения выбрать точку , то получим сходящуюся последовательность.

В общем случае, если задан отрезок , содержащий корень, и известно, что функция монотонна на этом отрезке, то в качестве начального приближения можно выбрать ту границу отрезка , где совпадают знаки функции и второй производной . Такой выбор начального приближения гарантирует сходимость метода Ньютона при условии монотонности функции на отрезке локализации корня.