electricity Labworks / Laboratory practical work the Electricity and magnetism. Release 6 (Knyazev)(nsu,2008,63s)
.pdfwww.phys.nsu.ru
ют не только внешние источники, но и внутренние токи, циркулирующие в пределах атомов и молекул.
В неферромагнитных телах, в не слишком сильных магнитных полях векторы поля связаны друг с другом линейными соотношениями, причем у изотропных тел линейная связь сводится к простой пропорциональности (наиболее удачное в рамках классической электродинамики объяснение связи между величинами, описывающими магнитное поле в веществе, дано, на наш взгляд, в книге
[14, С. 31]):
B = µH , |
(22) |
M = χH , |
(23) |
µ =1+ 4πχ , |
(24) |
где B – силовой вектор, используемый для обозначения истинного магнитного поля [3; 15]; H – вспомогательный вектор (аналог вектора D в диэлектриках); M – вектор намагниченности вещества, представляющий собой магнитный момент единицы объема тела. Здесь использована гауссова система единиц, в которой магнитная проницаемость µ и магнитная восприимчивость вещества χ явля-
ются безразмерными величинами, а B , H и M имеют одинаковую размерность (подробнее о системах единиц см. [1]). В отличие от диэлектрической восприимчивости, магнитная восприимчивость может быть как положительной, так и отрицательной. Вещества с χ > 0 называются парамагнетиками, вещества с χ < 0 – диамагне-
тиками.
В парамагнетиках в отсутствие внешнего поля магнитные моменты атомов ориентированы в пространстве беспорядочно и вектор намагниченности равен нулю. При внесении парамагнетика в магнитное поле магнитные моменты атомов начинают прецессировать и происходит переориентировка магнитных моментов в результате взаимодействия атомов между собой. При этом магнитные моменты атомов ориентируются преимущественно в направлении поля и возникает намагниченность, вектор которой направлен по полю. Таким образом, ориентационный эффект магнитного поля приводит к положительной магнитной восприимчивости.
Атомы диамагнитных веществ не имеют постоянных магнитных моментов – у них спиновые и орбитальные магнитные моменты электронов сбалансированы так, что суммарный магнитный мо-
21
www.phys.nsu.ru
мент, приходящийся на один атом, равен нулю. Но если такой атом поместить в магнитное поле, то будет иметь место эффект магнитной поляризации, т. е. в атоме индуцируется дополнительный магнитный момент, направленный в соответствии с принципом Ленца против поля. Таким образом, поляризационный эффект магнитного поля приводит к отрицательной магнитной восприимчивости. Так как причиной диамагнетизма является электромагнитная индукция, то он должен проявляться в явной или скрытой форме во всех материальных средах. В тех случаях, когда атомы вещества изначально обладают собственными магнитными моментами, диамагнитный эффект перекрывается значительно более сильным парамагнитным эффектом.
В случае гармонической зависимости от времени, поле B может быть представлено в комплексном виде ( B = B0e−iωt ), а значит, H и
M также являются комплексными величинами. Поэтому, вообще говоря, и коэффициент связи между ними χ (то же самое относится
и к µ ) также должен рассматриваться как комплексное число: χ = χ/ +iχ/ / . У диамагнетиков и парамагнетиков магнитная проницаемость очень мало отличается от единицы, а поле в веществе Hi связано с внешним полем He линейно, поэтому намагниченность
тела также линейно зависит от He |
|
M =αHe . |
(25) |
Безразмерный коэффициент α , называемый магнитной поляризуе-
мостью, также является комплексной величиной: α =α/ +iα/ / , это означает, что намагниченность не совпадает с внешним полем по фазе.
Найдем магнитную поляризуемость для цилиндрического проводника радиуса a , помещенного в однородное переменное маг-
нитное поле, параллельное оси цилиндра ( He = H0e−iωt ). Эту задачу
можно решить исходя из уравнений (2), (3) и (6).
В уравнении (6) не учтен ток смещения, так как он мал по сравнению с током проводимости при ω << 4πσ / ε . Предполагается также, что длина волны, соответствующая частоте поля ω , велика по сравнению с размерами тела ( c / ω >>1), период изменения поля мал по сравнению с характерным временем микроскопического ме-
22
www.phys.nsu.ru
ханизма проводимости (ω <<1/τ , τ – время свободного пробега электронов), а длина свободного пробега электронов мала по сравнению с масштабом, на котором заметно изменяется поле.
Поле внутри проводника описывается уравнением (8). С учетом
временной зависимости поля He |
= H0e−iωt , полагая µ =1, получаем |
||
уравнение |
|
||
∆H = − |
i4πσω |
H |
(26) |
|
|||
|
c2 |
|
|
Это уравнение вместе с уравнением divH = 0 составляет полную систему, достаточную для определения магнитного поля.
Токи Фуко в цилиндре циркулярны (т. е. j имеет в цилиндрических координатах только угловую компоненту jϕ ) и определяются
по полю согласно
4πc j = − ∂∂Hr .
Магнитный момент единицы длины цилиндра, создаваемый токами проводимости, направлен вдоль его оси и равен
M1 = 21c ∫ jrdV = − 14 ∫∂∂Hr r2dr .
Приближенное решение данной задачи достаточно подробно рассмотрено в Приложении. Здесь же приведем результат точного решения (задача 3 к § 59 в работе [16] и задача 382 в работе [17]):
|
α = |
α1 |
= − |
1 |
|
1− |
|
2 J1 (ka) |
, |
(27) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
πa2 |
4π |
ka J |
|
(ka) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где k = |
1+i |
, δ = |
|
c |
|
|
− глубина проникновения магнитного |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2πσω |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
поля в проводник; |
=1− (kr )2 |
|
|
|
(kr )4 |
|
|
|
|
|
|
(kr )6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
J0 (kr ) |
+ |
|
− |
|
|
|
|
+... ; |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(2 4)2 |
|
(2 4 6)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
J1 (kr )= |
kr |
(kr ) |
2 |
|
|
|
(kr ) |
4 |
|
|
|
|
|
|
(kr ) |
6 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+... |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
2 |
|
2 |
2 |
|
3 (2 4) |
|
|
|
|
4 (2 4 6) |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
− функции Бесселя.
23
www.phys.nsu.ru
В предельном случае низких частот (δ >> a )
|
/ |
|
1 |
a 4 |
πa4σ 2ω2 |
, α |
// |
|
|
1 a 2 |
a2σω |
|
|||||||||
α |
|
= − |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
8c |
2 |
(28) |
|
|
48 |
|
12c |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
δ |
|
|
|
|
|
16π |
δ |
|
|
|
|||||||
Отсюда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ/ |
= |
|
α/ |
= − |
π2σd 2 |
f , |
(29) |
|
χ/ / |
α/ / |
3c2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||
где f =ω / 2π – частота, а d = 2a – диаметр образца.
Таким образом, магнитный момент проводника в переменном магнитном поле создается, в основном, возникающими в теле токами проводимости; он отличен от нуля даже при µ =1, когда стати-
ческий момент обращается в нуль. Cтатический магнитный момент должен получаться из M (ω) при ω → 0 . Отсюда следует, что ве-
щественная часть магнитной поляризуемости α/ при ω → 0 стремится к постоянному значению (равному нулю при µ =1). Возник-
новение вихревых токов сопровождается диссипацией энергии поля, выделяющейся в виде джоулева тепла. Диссипация энергии оп-
ределяется мнимой частью магнитной поляризуемости α/ / [16], причем α/ / > 0 .
Полученное приближенное соотношение (29) может использоваться для бесконтактного определения проводимости (на достаточно малых частотах) в тех случаях, когда вещественная часть
магнитной поляризуемости α/ < 0 , а µ =1. Однако необходимо иметь в виду, что если статический магнитный момент не равен ну-
лю, то при ω → 0 α/ стремится к постоянному значению, также отличному от нуля, и его необходимо учитывать в выражениях (28) и, соответственно, в формуле (29).
3.2. Экспериментальная установка
Оборудование: Генератор низкой частоты (например, GFG – 8255A), дифференциальный трансформатор, двухканальный осциллограф (например, Tektronix TDS 1012), исследуемые образцы.
24
www.phys.nsu.ru
Бесконтактные методы измерения электропроводности во многих случаях имеют существенные преимущества перед контактными способами.
Известно, что при низких температурах длина свободного пробега электронов в чистых металлах достигает нескольких миллиметров. Поэтому правильное значение электропроводности можно получить лишь на образцах достаточно большого диаметра. Такие измерения целесообразно проводить бесконтактными методами. В частности, это относится к контролю чистоты металлов по остаточному удельному сопротивлению.
Бесконтактные методы можно использовать для измерения электропроводности металлов, сплавов, полупроводников и электролитов, в том числе и в тех случаях, когда образец помещен в герметичную ампулу для изоляции исследуемого материала от окружающей среды.
В данной работе применяется метод комплексной магнитной восприимчивости цилиндрических образцов в переменном магнитном поле[18] (метод дифференциального трансформатора). Датчиком служит дифференциальный трансформатор, состоящий из двух одинаковых катушек взаимной индуктивности (см. рис. 4). Образец 1 помещают внутрь одной из катушек датчика. Первичные обмотки катушек включены последовательно и по ним пропускается ток от генератора низкой частоты. Вторичные обмотки включены встречно, поэтому без образца напряжение на выходе дифференциального трансформатора должно быть равно нулю. При помещении образца 1 внутрь рабочей катушки в нем возникают вихревые токи, которые изменяют магнитное поле, и во вторичной обмотке появляется ЭДС. Так как начальная ЭДС (без образца) была скомпенсирована второй катушкой, то возникающий теперь выходной сигнал пропорционален частоте, амплитуде магнитного поля и эффективной магнитной восприимчивости образца:
Uвых |
|
∂M |
= |
∂ |
(χH0e−iωt )= −iωχH0e−iωt = |
||||
∂t |
∂t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ωt + |
π |
|
|
|
|
|
|
|
−i |
|
−β |
||
= −iωχ0eiβ H0e−iωt =ωχ0 H0e |
|
2 |
|
||||||
25
www.phys.nsu.ru
Здесь мы представили χ в виде χ = χ0eiβ , где tg β = |
α/ / |
− из |
|
α/ |
|||
|
|
соотношения (12). Иначе говоря, выходной сигнал оказывается сдвинут по фазе на величину ϕ = (π / 2 − β ) относительно магнит-
ного поля. Воспользовавшись тем, что |
tg(π / 2 − β )= ctg β , полу- |
|||||
чим |
α/ |
|
π2σd 2 |
|
|
|
tgϕ = ctg β = |
= − |
f . |
(30) |
|||
α/ / |
3c2 |
|||||
|
|
|
|
|||
Таким образом, построив график зависимости tgϕ от частоты f ,
по коэффициенту наклона линейного участка кривой можно рассчитать проводимость σ .
Если статическая магнитная поляризуемость образца отлична от нуля, т. е. α1/ (ω = 0)=α01 , то вместо формулы (13) следует восполь-
зоваться выражением |
α/ |
16c2α |
|
|
π2σµd 2 |
|
||||
|
01 |
|
|
|||||||
tgϕ = ctg β = |
|
|
= |
|
− |
|
|
f . |
(31) |
|
α |
/ / |
2 |
|
3c |
2 |
|||||
|
|
|
πd σµ f |
|
|
|
|
|||
Эта формула, как и выражение (30), правильно описывает ход соответствующей экспериментальной кривой в области низких частот. Следует отметить, что на этой кривой имеется линейный участок вблизи точки f = f0 , в которой tgϕ = 0 .
3.3. Контрольные вопросы (допуск к эксперименту)
1. Объясните суть метода дифференциального трансформато-
ра.
2.Докажите, что напряжение, поступающее на вход усилителя, пропорционально магнитной восприимчивости.
3.Как определяют фазовый сдвиг с помощью фигур Лиссажу? Каковы достоинства и недостатки этого метода?
4.В формуле (31) выразите параметр α01 через f0 и покажите,
что вблизи точки f = f0 , в которой ϕ =ϕ0 = 0 справедливо соотношение
∆ϕ =ϕ = −(2σµπ2d 2 / 3c2 )∆f , |
(31а) |
где ∆f = f − f0 .
26
www.phys.nsu.ru
5. Нарисуйте ожидаемый вид зависимостей tgϕ от частоты f для рассмотренных выше случаев.
3.4. Порядок выполнения эксперимента
1) Соберите схему (см. рис.4, где 1 − образец; 2,3 – катушки
взаимной индуктивности; N – двухканальный осциллограф; G − генератор низких частот) и проведите измерения ϕ для двух (или
трех) цилиндрических образцов методом фигур Лиссажу.
Выбор полосы частот для проведения измерений зависит от величины проводимости материала образца. Например, для меди можно выбрать полосу частот от 200 Гц до 1 кГц (с интервалом 100 Гц). Для материалов с низкой проводимостью (таких, как титан) имеет смысл начинать измерения с частоты (1 – 2) кГц.
Рис. 4. Схема экспериментальной установки
Что касается материалов, статическая магнитная поляризуемость которых отлична от нуля, то для них наиболее детально следует провести измерения на линейном участке в окрестности часто-
27
www.phys.nsu.ru
ты f0 (на этой частоте, в соответствии с формулами (31) и (31а), фазовый сдвиг обращается в нуль). Примечание. Исследование влияния параметра µ на крутизну участка вблизи f0 , а также исследо-
вание свойств меди и других проводников на высоких частотах можно рекомендовать в качестве курсовой работы.
2) Постройте графики зависимостей тангенса измеренных сдвигов фаз от частоты. По коэффициенту наклона линейного участка соответствующей кривой рассчитайте значения проводимости σ для каждого образца и сравните полученные результаты с табличными значениями.
3.5. Определение сдвига фазы методом фигур Лиссажу [5]
На экране двухканального осциллографа результат сложения гармонических колебаний одинаковой частоты имеет вид эллипса. Действительно, если точка P одновременно колеблется вдоль осей
координат OX и OY по законам x = A1 sin (ωt +ϕ1 ) и y = A2 sin (ωt +ϕ2 ), где x и y − декартовы координаты точки P , то
уравнение траектории результирующего движения точки P в плоскости XOY можно найти, исключив из выражений для координат x и y параметр t :
(x / A1 )2 +(y / A2 )2 − 2 xy / (A1 A2 ) cos(ϕ2 −ϕ1 )= sin2 (ϕ2 −ϕ1 )
Очевидно, координаты точек пересечения эллипса с осями координат зависят от величины ϕ2 −ϕ1 .
Вставьте исследуемый образец в одно из гнезд дифференциального трансформатора. Произведите измерение величины
sin (ϕ2 −ϕ1 ) . После этого вставьте исследуемый образец в другое
гнездо дифференциального трансформатора и повторите измерения на той же частоте. Определите среднее значение ϕ = ϕ2 −ϕ1 .
28
www.phys.nsu.ru
3.6. Содержание отчета
Отчет должен содержать следующие измеренные данные, результаты их обработки и анализа:
−расчетные формулы;
−схему измерительной установки;
−графики зависимостей tgϕ от частоты;
−значения удельной проводимости для каждого из исследованных образцов с указанием погрешности и сравнение их с табличными значениями.
3.7. Приложение. Метод последовательных приближений
Будем искать магнитную поляризуемость в случае, когда глуби-
на проникновения поля δ = 2πσωc велика по сравнению с радиу-
сом проводника (δ >> a , случай слабого скин-эффекта), методом последовательных приближений.
В этом случае правую часть в уравнении (26) в первом приближении можно заменить нулем. Найденное таким образом магнитное поле будет соответствовать стационарному случаю Hstat . C учетом
граничных условий в нашей задаче Hstat = He . Следующим шагом будет вычисление с помощью уравнения(2) электрического поля E , потом, по формуле (6), соответствующих ему токов j , а затем − создаваемого ими в проводнике поля Hi . Подставив найденное Hi
в уравнение (26), можно найти следующее приближение и т. д. Такими же последовательными приближениями можно найти и поляризуемость α , только на каждом шаге нужно вычислять магнитный момент, создаваемый токами j , с помощью уравнения
|
2c ∫ |
|
|
|
M1 = |
1 |
|
jrdV . |
(32) |
|
|
|||
Здесь M1 , в отличие от M , |
является магнитным моментом еди- |
|||
ницы длины цилиндра.
29
www.phys.nsu.ru
Учитывая аксиальную симметрию задачи, будем использовать цилиндрическую систему координат, где вектор поля будет иметь
следующие компоненты: He = (0,0, H0 ). Используя вид дифферен-
циальных операторов в цилиндрических координатах, воспользуемся указанным способом:
∆Hi = 0 Hi = He = H0ez ;
rotE = − |
1 |
∂B = i |
ω H |
e |
E |
= |
iω |
H |
r ; |
|
|
||||||||
|
c ∂t |
c |
ϕ |
|
2c |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
j = |
σE j |
= |
iσω |
H |
r ; |
|||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ϕ |
|
2c |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M1 |
= |
1 |
|
jrdV = |
iπσω |
a4 H0 . |
||||
2c ∫ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
8c2 |
|
|
||
(32)
(33)
(34)
(35)
Значит, в первом приближении магнитная поляризуемость единицы длины цилиндра − чисто мнимая величина, равная
iα/ / = iπσω8c2 a4 . Так как мы рассматриваем случай слабого скин-
эффекта, т. е. δ >> a , то полученное значение α/ / пропорционально величине второго порядка малости (a / δ )2 .
Далее, найдем магнитное поле, создаваемое токами j из уравне-
ния (34) с помощью выражения (3), подставим в уравнение (26) и повторим процедуру:
rotH = |
4π |
j Hz(2) = |
iπσω |
H0 . |
(36) |
c |
|
||||
|
|
c2 |
|
||
Индекс (2) означает второй порядок приближения; все остальные компоненты магнитного поля, кромe z компоненты, равны нулю;
индекс (i) , означающий «внутреннее» поле, для краткости опущен. Далее
|
|
E = − |
πσω2 |
H |
r3 |
; |
(37) |
||
|
|
|
|
||||||
|
|
ϕ |
|
2c3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j |
= −πσ 2ω2 |
H |
r3 |
; |
|
|
(38) |
||
ϕ |
|
2c3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
= |
π2σ 2ω2 |
a6 H |
0 . |
|
|
|
(39) |
|
12c4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30