ММФ / литература / confluence

Слияние особенностей

Д.А. Шапиро

26 декабря 2012 г.

1Равномерное разложение

Рассмотрим интеграл

Z

F ( ; ) = e S(z; ) dz; ! +1; (1)

где S(z; ) аналитическая функция параметра и переменной z, контур в комплексной плоскости, большой параметр. Требуется найти асимптотическое разложение функции F при ! +1. Стационарные точки находятся из уравнения

Его решение z0 также зависит от параметра . Значения фазовой функции S и ее производных в ряде Тейлора:

тоже зависят от параметра .

Если фазовая функция не зависит от параметра, то вклады стационарных точек можно рассматривать по отдельности. То же относится к вкладам стационарной точки и начала отрезка интегрирования. Если параметра нет, это два независимых вклада в асимптотику. Если же появилась зависимость от параметра (1), то эти вклады не всегда аддитивны. Если вычислить асимптотику по обычным формулам метода перевала, разложение получится неравномерным по параметру , если особенности сливаются при изменении параметра. Мы рассмотрим два случая слияния особенностей: слияние точки перевала z0 с концом контура и слияние двух точек перевала z1 и z2.

1

y

x

1 2 3

Рис. 1: Параболы y = (x )2 при = 0:5 (кривая 1), 0 (2) и +0:5 (3). Точками показаны максимальные значения функций на полуоси x > 0.

2Стационарная точка вблизи границы

Рассмотрим эталонный интеграл

Z 1

( ; ) = e (z )2 dz: (4)

0

Фазовая функция S(z; ) = (z )2 достигает максимума max S = 0 в точке

(

; > 0;

z0 =

0; < 0:

При < 0 (случай 1 ) стационарная точка находится вне отрезка интегрирования и главный вклад в асимптотику порядка 1 дает начало отрезка интегрирования. Если же > 0 (случай 2 ), то стационарная точка попадает на отрезок и вносит вклад1=2. Параболы (x )2 показаны на рис. 1. При ! 0 стационарная точка сливается с началом отрезка. Заменой переменной интегрирования и другие интегралы со слиянием стационарной и концевой точек сводятся к эталонному интегралу (4).

Эталонный интеграл выражается через специальную функцию функцию ошибок (или интеграл вероятности):

На рис. 2 изображен график функции ( ; ) при трех значениях . Функция ошибок похожа на размазанную ступеньку, которая и дает равномерный по параметрупереход между асимптотиками.

2

Рис. 2: Эталонный интеграл (4) как функция параметра при = 5 (штрихпунктир), 10 (штрихи), 15 (сплошная линия).

Пример 1. Неполная гамма-функция

Z x

Пользуясь интегральным представление

Z 1

(a; x) = xa exp at xet dt; (6)

0

найти асимптотику неполной гамма-функции при больших значениях параметра a. При a ! 1 и фиксированном x асимптотику находим как у обычного интеграла

Лапласа

S(t) = at xet; S0(t) = a xet = 0 ) t0 = ln(a=x);

Если же и x ! 1, причем быстрее, чем a, то точка перевала сливается с началом отрезка интегрирования и надо перед асимптотикой (7) ставить коэффициент 1/2. Как происходит переход между формулами с 1 и 1/2?

Чтобы проследить переход, запишем (6) интеграл как

Z 1

(a; x) aae a e a2 (t t0)2 dt

0

3

Получилась асимптотическая формула, равномерная по переменной x. Из формулы видно, когда и как происходит переход между асимптотиками. Если выполнено условие

r

a2 ln xa 1;

то справедлива асимптотика (7). В обратном предельном случае функцией ошибок можно пренебречь по сравнению с единицей, поэтому в асимптотике появляется коэффициент 1/2.

Замечание. Пусть под интегралом (4) имеется амплитудная функция, т. е. рас-

Для получения асимптотического разложения надо разложить амплитуду в асимптотический ряд по степеням функции z(z ), которые обращаются в нуль при

Коэффициенты разложения можно найти с помощью предельных переходов, как и в любом асимптотическом разложении. Старшие коэффициенты находятся как пределы

Следующие коэффициенты находятся совершенно аналогично с помощью перехода к пределам z ! ; 0, например,

и т. д.

Когда коэффициенты найдены, можно найти асимптотическое разложение интеграла (8). Интегралы сводятся к функции ошибок, ее первой производной и экспонентам. Чтобы найти следующие члены разложения, надо вывести рекуррентные

4

Интеграл An берем по частям, замечая, что внеинтегральный член обращается в нуль при n 1. Далее преобразуем подынтегральное выражение, пользуясь тождеством

Получается рекуррентное соотношение для An. Второе рекуррентное соотношение для Bn получается аналогично:

Теперь можно найти весь асимптотический ряд. Главные члены даются формулой

F ( ; ) A( ; ) ( ; ) + 21 [A( ; ) A(0; )] e 2 :

Упражнение. Найдите A0; A1; B0 и проверьте, что они выражаются через функцию ошибок и ее первую производную.

Пример 2. Вычислим

Z 1

x2e (x )2 dx:

0

С помощью тождества (10) сводим амплитудную функцию к виду (9). Получается сумма трех интегралов:

3Две близкие стационарные точки

Рассмотрим эталонный интеграл

5

y

x

321

Рис. 3: Кубическая парабола y = x3=3 x при = 0:5 (кривая 1), 0 (2) и +0:5 (3). Точками показаны экстремальные значения функции (стационарные точки). При= 0 стационарные точки сливаются.

а с другой стороны, фазовая функция S(z; ) = i(z3=3 z) имеет две стационарные точки z1;2 = p , которые сливаются при ! 0 (рис. 3). В этом пределе вторая производная S00 = 0, первой неисчезающей оказывается третья производная, поэтому асимптотика переходит в 1=3. Чтобы получить разложение интеграла с близкими стационарными точками, равномерное по параметру, надо свести фазовую функцию к эталонной с помощью замены переменной интегрирования.

Функция Эйри изображена на рис. 4. В отличие от рассмотренного выше случая, функция осциллирует при > 0 (в классически доступной области). Частота осцилляций уменьшается с ростом большого параметра.

Пример 3. Функция Бесселя

как известно, при x ! 1 и фиксированном параметре m имеет асимптотику Jm(x) x 1=2, а при x = m ! 1 получается Jm(x) x 1=3. Как происходит переход?

Пусть x & m, тогда обозначим x = m ch , где . 1 ограниченный фиксированный параметр. Стационарные точки '1;2 = arccos(1= ch ) малы по абсолютной величине при малых ; значит можно разложить фазу в ряд:

S im (ch 1) ' ch '3=6 :

После замены переменой интегрирования на = '(m ch =2)1=3 интеграл сведется к

6

формуле (13):

Переход между асимптотиками происходит при

m1=3 1:

Если это неравенство выполнено, аргумент функции Эйри велик по абсолютной величине, Ai(z) z 1=4 и формула (14) переходит в обычную асимптотику функции Бесселя Jm m 1=2.

Замечание. Чтобы вычислить интеграл с амплитудной функцией A(z; ):

надо сначала разложить эту функцию в асимптотический ряд по степеням функции

(z2 ):

Коэффициенты асимптотического ряда выражаются через функцию Эйри и ее производную, в частности, главные члены разложения даются формулой

7

Таким образом, иногда встречаются интегралы со слиянием особенностей, причем требуется найти равномерное по параметру асимптотическое разложение. Решение такой задачи в некоторых случаях возможно. Мы рассмотрели слияние стационарной точки с началом пути интегрирования и слияние двух стационарных точек. В книге [1], помимо рассмотренных здесь случаев, можно найти слияние полюса со стационарной точкой и слияние трех стационарных точек. О приложениях равномерной асимптотики функций Бесселя в теории дифракции можно узнать из книги [2].

Список литературы

[1]М. В. Федорюк, Асимптотика. Интегралы и ряды, СМБ, Наука, Москва, 1987.

[2]В. А. Фок, Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн, Советское радио, Москва, 1970.

8