ММФ / литература / полезно очень

«ï £àã¯¯ë ª¢ â¥à­¨®­®¢ Q8 ¨¬¥¥¬ Q8=Q08 ' hiQ08i2 hjQ08i2: ®í⮬㠨¬¥¥âáï ç¥âëॠ®¤­®¬¥à­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à㯯ë Q8, ¨¬¥­­®,

¯¨è¥¬ ¢á¥ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à㯯ë S3 ¨ S4: å ç¨á«® ᮢ¯ - ¤ ¥â á ç¨á«®¬ ª« áᮢ ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢. ¯®¬­¨¬, çâ® ¢ S3 ¨¬¥¥âáï 3 ª« áá ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢, f1g; f(12)g; f(123)g. ®í⮬㠨¬¥¥âáï âਠ­¥-

¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï. ¢ ¨§ ­¨å ®¤­®¬¥à­ë. «¥¤®¢ ⥫쭮, ¨¬¥¥âáï ¥é¥ ®¤­® à §¬¥à­®á⨠n, ¯à¨ç¥¬ jS3j = g = 1 + 1 + n2: âáî¤ n = 2. â®

¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¥áâ¥á⢥­­ë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ S3 = D3:

¯¨è¥¬ ¢á¥ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à㯯ë S4: ¯®¬­¨¬, çâ® ¢ S4 ¨¬¥¥âáï 5 ª« áá ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢,

f1g; f(12)g; f(123)g; f(1234g; f(12)(34)g:

®í⮬㠨¬¥¥âáï 5 ­¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï. ¢ ¨§ ­¨å ®¤­®¬¥à­ë.¤­® ¤¢ã¬¥à­® ¨ á¢ï§ ­® á ¨§®¬®à䨧¬®¬ S4=V4 ' S3. ¢ âà¥å¬¥à­ëå á¢ï- § ­ë á â¥âà í¤à®¬ ¨ ªã¡®¬.

¯¨è¥¬ ¢á¥ ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï £à㯯ë Dn. å ç¨á«® ᮢ¯ ¤ ¥â

á ç¨á«®¬ ª« áᮢ ᮯà殮­­ëå í«¥¬¥­â®¢. ¯®¬­¨¬, çâ® ¢ £à㯯¥ Dn ¨¬¥- îâáï á«¥¤ãî騥 ª« ááë fak; a kg; fb; ba2; ba4; : : : fba; ba3; : : : g. ®í⮬㠪஬¥

¤¢ãå (ç¥âëà¥å) ®¤­®¬¥à­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ¨¬¥îâáï ¤¢ã¬¥à­ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï

§ ª«î祭¨¥ ¯à¨¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 १ã«ìâ â.

¥®à¥¬ 4.30. ®­¥ç­ë¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¢ SO(3; R), ®â«¨ç­ë¥ ®â 横«¨ç¥á-

ª¨å £à㯯 ¨ £à㯯 ¤¨í¤à , ¨¬¥îâ ¯®à浪¨ 12, 24, 60. â® £à㯯ë ᨬ¬¥â਩ â¥âà í¤à , ªã¡ , ®ªâ í¤à , ¤®¤¥ª í¤à , ¨ª®á í¤à . ­¨ ¨¬¥îâ ¯®à浪¨ 12, 24, 24, 60, 60 ¨ ¨§®¬®àä­ë £à㯯 ¬ A4; S4; A5:

44 5.

«¥¤á⢨¥ 5.15. î¡®¥ ⥫® ¯à®áâ®.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.16. ¤¥ « (z1; : : : ; zn) ­ §ë¢ ¥âáï ¨¤¥ «®¬, ¯®à®¦¤¥­­ë¬ ¬­®¦¥á⢮¬ z1; : : : ; zn. ¤¥ « ¢¨¤ (z) ¢ A ­ §ë¢ ¥âáï £« ¢­ë¬.

¥®à¥¬ 5.17. î¡®© ¨¤¥ « ¢ «£¥¡à ¬­®£®ç«¥­®¢ k[X] ï¥âáï £« ¢- ­ë¬.

¯à ¦­¥­¨¥ 5.18. î¡®© ¨¤¥ « ¢ Z ¨ ¢ Z[i] ï¥âáï £« ¢­ë¬.

®ª § ⥫ìá⢮. ®«®¦¨¬ J = fa 2 RjaE11 2 Ig: ãáâì X = (xij) 2 I, £¤¥ xij 2 R. «ï «î¡ëå i; j = 1; : : : ; n ¨¬¥¥¬ xijE11 = E1iXEj1 2 I: «¥¤®¢ - ⥫쭮, xij 2 J, â. ¥. I Mat(n; J).

¡à â­®, ¯ãáâì X = (xij) 2 Mat(n; J), â. ¥. xij 2 J ¤«ï ¢á¥å i; j = 1; : : : ; n.í⮬ á«ãç ¥ xijE11 2 I; ®âªã¤

XX

«¥¤á⢨¥ 5.20. ãáâì D { ⥫®. ®£¤ Mat(n; D) { ¯à®áâ ï «£¥¡à .

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.21. ®¬®¬®à䨧¬ë ª®«¥æ ¨ «£¥¡à. §®¬®à䨧¬ë, ¢â®- ¬®à䨧¬ë. ¤à® £®¬®¬®à䨧¬ ker .

।«®¦¥­¨¥ 5.22. ker ï¥âáï ¨¤¥ «®¬ ª®«ìæ ( «£¥¡àë).

«¥¤á⢨¥ 5.23. ãáâì : k ! A { ­¥­ã«¥¢®© £®¬®¬®à䨧¬ ¯®«ï k ¢ «£¥¡à¥ A. ®£¤ ï¥âáï ¬®­®¬®à䨧¬®¬.

®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¨¤¥ « ker . ® á«¥¤á⢨î 5.15 «¨¡® ker = k; «¨¡® ker = 0: ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ = 0, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨î.«¥¤®¢ ⥫쭮, ker = 0, ¨ { ¬®­®¬®à䨧¬ ¯® á«¥¤á⢨î 1.66.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.24. ãáâì I / R. áᬮâਬ ä ªâ®à£à㯯ã (®â­®á¨â¥«ì- ­® á«®¦¥­¨ï) R=I. «ï a + I; b + I 2 R=I ¨ 2 k ¯®«®¦¨¬

(a + I)(b + I) = ab + I 2 R=I; (a + I) = a + I:

®«ãç îé ïáï «£¥¡à (ª®«ìæ®) ­ §ë¢ ¥âáï ä ªâ®à «£¥¡à®© (ä ªâ®àª®«ì殬)

।«®¦¥­¨¥ 5.25. ¯à¥¤¥«¥­¨¥ ä ªâ®à «£¥¡àë (ä ªâ®àª®«ìæ ) R=I ª®à४⭮. ᫨ R áá®æ¨ ⨢­® (ª®¬¬ãâ ⨢­®, ª®«ìæ® ¨«¨ «£¥¡à ¨), â® í⨬ ¦¥ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ ¥â R=I.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a+I = a0 +I; b+I = b0 +I. ®£¤ a0 = a+x; b0 = b + y, £¤¥ x; y 2 I: ®í⮬ã a0b0 = ab + xb + ay + xy 2 ab + I; ¯®áª®«ìªã

®ª § ⥫ìá⢮. ® ⥮६¥ 1.70 ®â®¡à ¦¥­¨¥ : f(R) ! R= ker , § - ¤ ¢ ¥¬®¥ ¯® ¯à ¢¨«ã ( (x)) = 1( (x)) = x ker ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬

ª ª (x) (y) = (xy), â® (a) (b) = 1( (x)) 1( (y)) = 1 (xy) = (ab):

­ «®£¨ç­® ¯à®¢¥àï¥âáï (18).ਬ¥àë 5.29. ®ª § âì, çâ®

1.C[X; Y ]=(X) ' C[X];

2.R[X]=(X2 + X + 1) ' C.

2. ¥®à¥¬ à®à¡¥­¨ãá

¯¨è¥¬ ª®­¥ç­®¬¥à­ë¥ ⥫ ­ ¤ ¯®«¥¬ ¢¥é¥á⢥­­ëå ç¨á¥«.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.30. ãáâì H { ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªá­ëå ¬ âà¨æ

¥®à¥¬ 5.31. H ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© ¢ R- «£¥¡à¥ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªá­ëå ¬ â-

à¨æ

Mat(2; C). ®«¥¥ ⮣®, H ï¥âáï ⥫®¬ á 業â஬ R.

®ª § ⥫ìá⢮. «ï z 2 H ¨§ (19) ç¥à¥§ kzk ®¡®§­ 稬

pp

det z = jaj2 + jbj2:

®£¤ kzk > 0, ¥á«¨ z 6= 0, kz1z2k = kz1kkz2k.᫨ z ¨§ (19), â® ¯®«®¦¨¬

z =

a b

b a

¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, çâ® zz = kzk2: ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ z 6= 0, â® z 1 = kzzk2 :«¥¤®¢ ⥫쭮, H { ⥫®. ­® ­¥ª®¬¬ãâ ⨢­®, â ª ª ª ¥á«¨

â® IJ = JI.

©¤¥¬ 業âà H. ­ á®á⮨⠨§ ¢á¥å ¬ âà¨æ

çâ® wz = zw ¤«ï ¢á¥å ¬ âà¨æ z ¨§ eqref(19). ¥¯®á।á⢥­­ ï ¯à®¢¥àª ¯®- ª §ë¢ ¥â, çâ® w = E, 2 R.

¯à ¦­¥­¨¥ 5.32. ®ª § âì, çâ® ¬ âà¨æë E; I; J; K, £¤¥ I; J ¨§ (20) ¨

á®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨á H ­ ¤ R, ¯à¨ç¥¬

IJ = K; JK = I; I2 = J2 = K2 = E:

¬ ¯®âॡã¥âáï àï¤ ã⢥ত¥­¨©.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.33. ãáâì A { áá®æ¨ ⨢­ ï k- «£¥¡à á 1. «¥¬¥­â z 2 A ­ §ë¢ ¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ­ ¤ k, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ­¥­ã«¥¢®© ¬­®- £®ç«¥­ f 2 k[X], çâ® f(z) = 0. ¨­¨¬ «ì­ë¬ ¬­®£®ç«¥­®¬ «£¥¡à ¨ç¥áª®£® í«¥¬¥­â z ­ ¤ k ­ §ë¢ ¥âáï â ª®© ¬­®£®ç«¥­ f(X) 2 k[X] ¬¨­¨¬ «ì­®© áâ¥- ¯¥­¨ á® áâ à訬 ª®íää¨æ¨¥­â®¬ 1, çâ® f(z) = 0.

¯à ¦­¥­¨¥ 5.34. ãáâì f 2 k[X] { ¨¬¥¥â áâ à訩 ª®íää¨æ¨¥­â 1, ¨ z = X + (p) 2 k[X]=(f). ®£¤ ¬¨­¨¬ «ì­ë© í«¥¬¥­â ¤«ï z à ¢¥­ f.

।«®¦¥­¨¥ 5.35. ãáâì A { ®¡« áâì ­ ¤ ¯®«¥¬ k, ¨ z 2 K { «£¥¡- à ¨ç¥áª¨© í«¥¬¥­â á ¬¨­¨¬ «ì­ë¬ ¬­®£®ç«¥­®¬ f(X). ®£¤ f ­¥¯à¨¢®¤¨¬.

।«®¦¥­¨¥ 5.36. ãáâì A ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ⥫® ­ ¤ R, ¨ a 2 A n R.®£¤ ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¬­®£®ç«¥­ ­ ¤ a ¨¬¥¥â á⥯¥­ì ¤¢ . ஬¥ ⮣®, R[a] '

C.

®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª A ª®­¥ç­®¬¥à­®, ¢á¥ á⥯¥­¨ a § ¢¨á¨¬ë. «¥- ¤®¢ ⥫쭮, a «£¥¡à ¨ç­®. ¨­¨¬ «ì­ë© ¬­®£®ç«¥­ p ¤«ï a ­¥¯à¨¢®¤¨¬ ¨ ¯®â®¬ã ¨¬¥¥â á⥯¥­ì ­¥ ¢ëè¥ 2 ¢ ᨫ㠯।«®¦¥­¨ï 5.35. ª ª ª a 2= R, â® á⥯¥­ì p à ¢­ 2. ®í⮬ã a2 + a + = 0; £¤¥ p = X2 + X + 2 R[X]:®«®¦¨¬

2a +

I = p :

4 2

®£¤ I2 = 1, ¯à¨ç¥¬ ¯® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 5.35

R[a] = R[I] ' R[X]=(X2 + 1) ' C:

¥®à¥¬ 5.37. ãáâì ¯®«¥ A ï¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ à áè¨à¥­¨¥¬ ¯®«ï R: ®£¤ «¨¡® A = R; «¨¡® A = C:

᫨ a 2 AnC, â® ¬¨­¨¬ «ì­ë© ¬­®£®ç«¥­ f ¤«ï a ¨¬¥¥â ª®¬¯«¥ªá­ë© ª®à¥­ì. âáî¤ 0 = f(a) = (a )g(a), £¤¥ g 2 C[X]: ª ª ª ¢ A ­¥â ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï, â® a = 0 ¨ a = 2 C.

¥®à¥¬ 5.38 ( ஡¥­¨ãá). ãáâì A { ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ⥫® ­ ¤ R. ®£¤ A { ®¤­® ¨§ ⥫ R; C; H:

®ª § ⥫ìá⢮. ®¦­® áç¨â âì, çâ® A ­¥ ª®¬¬ãâ ⨢­®. ª ¨ ¢ ¯à¥- ¤ë¤ã饩 ⥮६¥ 5.37 A R1 = R: ®¦­® áç¨â âì, çâ® A 6= R: ® ¯à¥¤«®¦¥- ­¨î 5.36 A C: ᫨ A = C, ⮠⥮६ ¤®ª § ­ . ãáâì A 6= C. í⮬ á«ãç ¥ A ï¥âáï «¥¢ë¬ ¢¥ªâ®à­ë¬ ¯à®áâà ­á⢮¬ ­ ¤ C. áᬮâਬ ¢ A «¨­¥©- ­ë© ®¯¥à â®à L(x) = xi; i 2 C. ¬¥â¨¬, çâ® L4 = 1. ®í⮬㠯®«ãç ¥âáï ª®¬¯«¥ªá­®¥ ª®­¥ç­®¬¥à­®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥ 横«¨ç¥áª®© £à㯯ë G ¯®à浪 4.«¥¤®¢ ⥫쭮, A à §« £ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬ã

A = A1 A 1 Ai A i; £¤¥ Aj = fx 2 Ajxi = jxg:

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 5.46. ãáâì A { ¯à®¨§¢®«ì­ ï «£¥¡à . ¨­¥©­®¥ ®¯¥à â®à D ­ A ­ §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬, ¥á«¨ D(xy) = D(x)y + xD(y). ¥à¥§ Der(A) ®¡®§­ ç ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨© «£¥¡àë A.

।«®¦¥­¨¥ 5.47. Der(A) ï¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© ¨ ¢ «£¥¡à¥ ¨ ¢á¥å «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ L(A)( ) ­ A.

¯à ¦­¥­¨¥ 5.48. ãáâì f { ª¢ ¤à â¨ç­ ï ä®à¬ ­ n-¬¥à­®¬ ¯à®áâ- à ­á⢥ kn, £¤¥ k { ¯®«¥. ¥à¥§ o(n; f) { ®¡®§­ ç ¥âáï ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®á®- ᨬ¬¥âà¨ç­ëå ®â­®á¨â¥«ì­® f «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ kn. â. ¥. ¬­®¦¥á⢮

¬¥à­®¬ ª®¬¯«¥ªá­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ Cn. ¥à¥§ su(n; f) ®¡®§­ 稬 ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å ª®á®á¨¬¬¥âà¨ç­ëå ®â­®á¨â¥«ì­® f «¨­¥©­ëå ®¯¥à â®à®¢ ¢ Cn, â. ¥. ¬­®-

஬¥ ⮣®, [X; [X; u]] = [H; X] = 2 X 2 I: ᫨ 6= 0; â® X 2 I, ¨ ⮣¤ I = sl(2; k) ¢ ᨫã (22).

ãáâì = 0. ® (23) ¯®«ãç ¥¬, çâ® [X; u] = 2 X 2 I. ᫨ 6= 0, â® X 2 I, ¨ ¯®í⮬ã I = sl(2; k).

[e1; e2] = e3; [e2; e3] = e1; [e3; e1] = e2:

¥¯®á।á⢥­­ ï ¯à®¢¥àª ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ®

[x; x] = J(e1; e2; e3) = [[e1; e2]; e3] + [[e2; e3]; e1] + [[e3; e1]; e2] = 0: