ММФ / литература / полезно очень
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«¥¬¥âë ⥮ਨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© £à㯯
1. á®¢ë¥ ¯®ïâ¨ï ¨ ¯à¨¬¥àë
ãáâì V { ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¤ ¯®«¥¬ ª®¬¯«¥ªáëå ç¨á¥« C. ¥- १ GL(V ) ®¡®§ ç ¥âáï ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ®¡à ⨬ëå «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ V , â. ¥. ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å «¨¥©ëå ®¯¥à â®à®¢ A ¢ V , ã ª®â®àëå ¥áâì â ª®© (®¡à âë©) ®¯¥à â®à A 1, çâ® AA 1 = A 1A = E:
¯à ¦¥¨¥ 4.1. GL(V ) ï¥âáï £à㯯®© ®â®á¨â¥«ì® ®¯¥à 樨 㬮- ¦¥¨ï ®¯¥à â®à®¢.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.2. ãáâì G { £à㯯 ¨ V { ª®¬¯«¥ªªá®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâ- à á⢮. ।áâ ¢«¥¨¥¬ £à㯯ë G ¢ V §ë¢ ¥âáï £®¬®¬®à䨧¬ £à㯯 :
G ! GL(V ).
à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥âã g 2 G ᮯ®áâ ¢«¥ ®¡à â¨¬ë© «¨¥©- ë© ®¯¥à â®à (g), ¯à¨ç¥¬ (gh) = (g) (h) ¤«ï ¢á¥å g; h 2 G. ᫨ ¯à¥¤áâ ¢- «¥¨¥ 䨪á¨à®¢ ®, â® ®¡ëç® ¤¥©á⢨¥ ®¯¥à â®à (g); g 2 G, ¢¥ªâ®à¥ v 2 V ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ gv. ®£¤ ¤«ï ¢á¥å v; w 2 V ¨ g; h 2 G ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï
g( v + w) = (gv) + (gw); (gh)v = g(hv); |
1v = v: |
(11) |
®á«¥¤¨¥ ¤¢ à ¢¥á⢠¨§ (11) ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® £à㯯 |
G ¤¥©áâ¢ã¥â |
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1.ãáâì G = S4 ¨ T { â¥âà í¤à á ¢¥àè¨ ¬¨, § 㬥஢ 묨 ç¨á- « ¬¨ 1,2,3,4. ।¯®«®¦¨¬, çâ® â¥âà í¤à ¢«®¦¥ ¢ R3, ¯à¨ç¥¬ ¥£®
æ¥âà à ᯮ«®¦¥ ¢ ç «¥ ª®®à¤¨ â. ®¯®áâ ¢¨¬ ª ¦¤®© ¯¥à¥áâ - ®¢ª¥ 2 S4 ®à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ R3, ¯¥à¥¢®¤ï饥 ¢¥àè¨ë
1,2,3,4 ¢ 1; : : : ; 4: ª®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â ª ª ª ï-
¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ âà ᯮ§¨æ¨©, ¨ ¤«ï ª ¦¤®© âà ᯮ§¨æ¨¨ â ª®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â. á®, çâ® ¢®§¨ª ¥â ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ S4.
2.à㯯 Sn ¤¥©áâ¢ã¥â ¢ k[X1; : : : ; Xn] á ¯®¬®éìî ¯¥à¥áâ ®¢®ª ¯¥à¥¬¥- ëå.
3.àã¯¯ë ¤¨í¤à Dn ¨ ª¢ â¥à¨®®¢ Q8 ¨¬¥îâ ¥áâ¥á⢥®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥- ¨¥ ¢ R2 ¨ ¢ C2.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.4. ãáâì § ¤ ë ¤¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï : G ! GL(V ); : G ! GL(W ). ⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï íª¢¨¢ «¥âë (¨§®¬®àäë) , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¨§®¬®à䨧¬ ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà á⢠: V ! W , çâ® [ (g)v] = (g)[ (v)] ¤«ï ¢á¥å g 2 V; v 2 V . à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¤«ï «î¡®£® g 2 G ª®¬¬ãâ ⨢
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34 |
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V ! W
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(g)? ? (g)
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V ! W:
¥à¥ä®à¬ã«¨à㥬 ¯®ï⨥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¨ ¨§®¬®à䨧¬ ¢ ¬ âà¨çëå â¥à- ¬¨ å.
ãáâì V { ª®¯¬«¥ªá®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ á ¡ §¨á®¬ e = (e1; : : : ; en).᫨ § ¤ ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ : G ! GL(V ), â® ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥âã g 2 G á®-
¬ âà¨æ |
Tg = (aij(g)) 2 GL(n; C) |
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g; h 2 |
G |
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Tgh = TgTh ¨ |
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: G ! GL(W ) |
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¬®à䨧¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, ¯à¨ç¥¬ |
(ei) = |
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i = 1; : : : ; n: |
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2 GL(n; C). ®£¤ |
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¤«ï «î¡®£® g 2 G ¯® |
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®¯à¥¤¥«¥¨î 4.4 ¯®«ãç ¥¬ |
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(12) |
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¥®à¥¬ 4.5. ¦¤®¥ ª®¥ç®¬¥à®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ª®¥ç®© £à㯯ë G |
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¤ ¯®«¥¬ R ( ¤ C) íª¢¨¢ «¥â® ®à⮣® «ì®¬ã (ã¨â ஬ã). |
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®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì § ¤ ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ |
: G ! GL(V ), £¤¥ V { |
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ª®¥ç®¬¥à®¥ ª®¬¯«¥ªá®¥ ¯à®áâà á⢮. |
V áãé¥áâ¢ã¥â áâàãªâãà |
íନ- |
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⮢ ¯à®áâà á⢠|
ᮠ᪠«ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ |
( |
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[x; y] = 1 |
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(gx; gy): |
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[ |
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ï¥âáï ᪠«ïàë¬ ¯à®- |
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¨§¢¥¤¥¨¥¬, ¨ [gx; gy] = [x; y] ¤«ï ¢á¥å x; y 2 V . |
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: G ! GL(V ) { ¨§ ⥮६ë 4.5. ᫨ ¯®¤¯à®áâ- |
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à á⢮ U V ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® ¢á¥å ®¯¥à â®à®¢ |
(g); g 2 G, â® |
||||||||||||||||||||||||||
V = U W , £¤¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ W ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® ¢á¥å ®¯¥à - |
|||||||||||||||||||||||||||
â®à®¢ (g); g 2 G. |
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: G ! GL(n; C) ª®¥ç®© |
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£à㯯ë G, ¯à¨ç¥¬ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ 1 < k < n, çâ® ¤«ï ¢á¥å g 2 G |
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(g) = 0 |
Bg |
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Cg |
1 |
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Bg 2 GL(k; C); Dg 2 GL(n k; C); |
Cg 2 Mat(k (n k); C); |
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áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ¬ âà¨æ |
F 2 GL(n; C), çâ® |
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0 |
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= 0 |
Bg0 |
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0 |
1; Bg0 |
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Bg |
Cg |
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GL(k; C); Dg0 |
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GL(n |
|
k; C); |
||||||
F |
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2 |
2 |
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Dg |
A |
@ 0 |
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Dg0 |
A |
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¤«ï ¢á¥å g 2 G.
®ª § ⥫ìá⢮. ®¦® áç¨â âì, çâ® ®à⮣® «ì®. ®£¤ W = U?.
2. ¥®à¥¬ 誥 ¨ ¥¥ ¯à¨«®¦¥¨ï
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.8. ®¤¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥, ¯àï¬ ï á㬬 ¯à¥¤áâ ¢«¥¨©, ¥- ¯à¨¢®¤¨¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥, ¢¯®«¥ ¯à¨¢®¤¨¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥.
¥®à¥¬ 4.9. î¡®¥ ª®¥ç®¬¥à®¥ ª®¬¯«¥ªá®¥ (¢¥é¥á⢥®¥) ¯à¥¤áâ ¢- «¥¨¥ ª®¥ç®© £àã¯¯ë ¢¯®«¥ ¯à¨¢®¤¨¬®.
®ª § ⥫ìá⢮. ¤ãªæ¨ï ¯® à §¬¥à®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï.¯à ¦¥¨¥ 4.10. ®ª § âì, çâ®
1.¥áâ¥áâ¢¥ë¥ ¤¢ã¬¥àë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï Dn; Q8 ¥¯à¨¢®¤¨¬ë;
2.¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ S4 ¨§ 4.3 ¥¯à¨¢®¤¨¬®.
¥®à¥¬ 4.11. ᥠ®¤®¬¥àë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï £à㯯ë G ᢮¤ïâáï ª ®¤- ®¬¥àë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ G=G0.
®ª § ⥫ìá⢮. 㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ 1.93.
¥®à¥¬ 4.12. î¡®¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ª®¥ç®¬¥à®¥ ª®¬¯«¥ªá®¥ ¡¥«¥¢®© £àã¯¯ë ®¤®¬¥à®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì § ¤ ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¡¥«¥¢®© £à㯯ë G ¢ ¯à®áâà á⢥ V . ᫨ g 2 G, â® ®¯¥à â®à (g) ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®© ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à á ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ g. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®¤¯à®áâà á⢮ U ¢ V , á®áâ®ï饥 ¨§ ã«ï ¨ ¢á¥å ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¤«ï (g) á ᮡáâ¢¥ë¬ § ç¥-
¨¥¬ g ®â«¨ç® ®â ã«ï, ¯à¨ç¥¬ ¢ ᨫ㠡¥«¥¢®á⨠G ®® ¨¢ ਠâ®. «¥¤®- ¢ ⥫ì®, U = V . ª ª ª g { «î¡®© í«¥¬¥â ¨§ G, â® ¤«ï «î¡ëå g 2 G; v 2 V
¨¬¥¥¬ gv = gv: âáî¤ ¢ë⥪ ¥â ã⢥ত¥¨¥.
«¥¤á⢨¥ 4.13. ãáâì ª®¥ç ï ¡¥«¥¢ £à㯯 G ¨¬¥¥â ¢ ᨫ㠯® ⥮६¥ 2.14 à §«®¦¥¨¥
G = ha1ipk11 hamipkmm ;
£¤¥ p1; : : : ; pm { ¯à®áâë¥ ç¨á« . ¦¤®¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ª®¬¯«¥ªá®¥ ¯à¥áâ ¢- «¥¨¥ £à㯯ë G ¨¬¥¥â ¢¨¤ (aj) = j, £¤¥ j { ª®¬¯«¥ªáë© ª®à¥ì á⥯¥¨
pkj
j ¨§ 1. ç áâ®áâ¨, ç¨á«® ¥íª¢¨¢ «¥âëå ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ª®¬¯«¥ªáëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ª®¥ç®© ¡¥«¥¢®© £à㯯ë G à ¢® ¥¥ ¯®à浪ã.
।«®¦¥¨¥ 4.14. ãáâì V { ª®¬¯«¥ªá®¥ ¯à®áâà á⢮ à §¬¥à®á⨠n á ¡ §¨á®¬ e = (e1; : : : ; en). ¤ ¤¨¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ Sn ¢ V , ¯®« £ ï (ei) =
e i; |
i = 1; : : : ; n; ¤«ï 2 Sn. ãáâì U = k(e1 + + em) ¨ |
|
W = fx1e1 + + xnenjxi 2 C; x1 + + xn = 0g |
®£¤ |
U; W ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯®¤¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, ¯à¨ç¥¬ V = U W . |
36 4.
®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® ¯®ª § âì, çâ® W ¥¯à¨¢®¤¨¬®. ãáâì h =
h1e1 + + hnen { ¥ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à ¨§ W . ¥à¥áâ ¢«ïï ei á ¯®¬®éìî Sn ¬®¦® áç¨â âì, çâ® h1 6= 0. ¬¥â¨¬, çâ® á«ãç © h1 = h2 = = hn
¦¥ ¢ ᨫã ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯®«ï. ¥à¥áâ ¢«ïï e2; : : : ; en
Sn ¬®¦® áç¨â âì, çâ® h1 6= h2. ®£¤ h (1; 2)h = (h1 h2)(e1 e2): «¥¤®-
¢ ⥫ì®, «î¡®¥ ¥ã«¥¢®¥ ¨¢ ਠ⮥ ®â®á¨â¥«ì® Sn ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ W ᮤ¥à¦¨â ¢¥ªâ®à (h1 h2) 1(h (1; 2)h) = e1 e2: ® ⮣¤ ®® ᮤ¥à¦¨â ¨
(2; i)(e1 e2) = e1 ei ¤«ï «î¡®£® i. ®í⮬ã íâ® ¯®¤¯à®áâà á⢮ ᮢ¯ ¤ ¥â á W . 
3. ¥¬¬ ãà ¨ ¥¥ á«¥¤á⢨ï
¥®à¥¬ 4.15 ( ¥¬¬ ãà ). ãáâì
1 : G ! GL(V1); 2 : G ! GL(V2)
¤¢ ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï £à㯯ë G. ãáâì f : V1 ! V2 { «¨¥©®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï «î¡®£® g 2 G ª®¬¬ãâ ⨢ ¤¨ £à ¬¬
f
V1 ! V2
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? |
|
? |
|
|
1 |
? |
|
?2 |
2 |
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(g) |
! |
y |
(g) |
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|
|
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f |
V : |
|
|
|
|
|
|||
᫨ 1; 2 ¥ íª¢¨¢ «¥âë, â® f = 0. ᫨ V1 = V2 = V { ª®¥ç®¬¥à®, ¨1 = 2 = , â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ª®¬¯«¥ªá®¥ ç¨á«® , çâ® f(x) = x ¤«ï ¢á¥å x 2 V .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f 6= 0, ¨ W = ker f. ®£¤ W 6= V1, ¯à¨ç¥¬ W ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® 1. «¥¤®¢ ⥫ì®, W = 0. «®£¨ç® Im f { ¨¢ ਠ⮥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V2. ®í⮬ã Im f = V2, â. ¥. f { íª¢¨¢ «¥â- ®áâì, çâ® ¥¢®§¬®¦®.
ãáâì V1 = V2 = V ¨ 1 = 2 = . ®£¤ f ¨¬¥¥â ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à x á ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ . ®¡á⢥®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ V ¤«ï ®¯¥à â®à f
á ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® . âáî¤ |
V ᮢ¯ ¤ ¥â |
|||
á í⨬ ᮡáâ¢¥ë¬ ¯®¤¯à®áâà á⢮¬. |
|
|||
«¥¤á⢨¥ 4.16. ãáâì 1 : G ! GL(V1); 2 : G ! GL(V2) ¤¢ ¥¯à¨- |
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¢®¤¨¬ëå ª®¥ç®¬¥àëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï £àã¯¯ë ª®¥ç®© £à㯯ë |
G. ãáâì |
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B : V1 ! V2 { «¨¥©®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥. ®«®¦¨¬ |
|
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1 |
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|
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2(g)B 1(g 1) : V1 ! V2: |
|
G |
|
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j |
j g2G |
|
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᫨ V1; V2 ¥ íª¢¨¢ «¥âë, â® = 0. ᫨ V1 = V2 = V ¨ 1 = 2 = , â®
(x) = dimtr BV x
¤«ï «î¡®£® x 2 V .
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
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|
||||||||||||||||||||
2(g) = |
1 |
|
X |
2(h) 2(g)B 1(g 1) = |
|
|
|
|
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||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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2 |
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
2(hg)B 1 |
(g 1) = 1 |
|
2(u)B 1(u 1h) = |
|
|||||||||||||
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
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jGj |
g |
2 |
G |
|
|
|
jGj |
u |
G |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
"jGj |
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
u2G 2(u)B 1(u 1)# 1(h) = 1(h): |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
X |
|
|
|
|
||
®í⮬㠥᫨ 1; 2 ¥ íª¢¨¢ «¥âë, â® ¯® ⥮६¥ 4.15 = 0. |
|
||||||||||||||||||||
® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ 2 C, çâ® |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
X |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
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|
|
(x) = |
|
|
|
2(g)B 1(g 1)(x) = x |
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||||||||
|
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|
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|
jGj |
g |
G |
|
|
|
|
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|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
tr |
|
||
¤«ï «î¡®£® x 2 V . ç áâ®áâ¨, tr = dim V , â. ¥. = |
|
||||||||||||||||||||
|
: ® |
|
|||||||||||||||||||
dim v |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
X |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tr = |
|
|
|
tr[ (g)B (g) 1] = tr B: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jGj |
g |
2 |
G |
|
|
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|||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«¥¤á⢨¥ 4.17. ãáâì ¢ ãá«®¢¨¨ á«¥¤á⢨ï 4.16 e { ¡ §¨á ¢ ¯à®áâ- |
|||||||||||||||||||||
à á⢥ V1 ¨ f |
|
|
{ { ¡ §¨á ¢ ¯à®áâà á⢥ V2, ¯à¨ç¥¬ ¥á«¨ V1 = V2 = V |
¨ |
|||||||||||||||||
1 = 2 = , â® e = f. ãáâì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1(g) = (T 1(g)ij); 2(g) = (T 2(g)ij) |
|
||||||||||||
{ ¬ âà¨æë 1(g); 2(g) ¢ í⮩ ¯ ॠ¡ §¨á®¢. ᫨ 1; 2(g) ¥ íª¢¨¢ «¥âë,
â® ¤«ï «î¡®© âனª¨ ¨¤¥ªá®¢ i; j; s ¨¬¥¥¬ |
|
|||||||||||
|
X |
|
||||||||||
|
|
|
T 2(g)ij |
T 1(g)is |
= 0: |
|
|
(13) |
||||
|
g2G |
|
||||||||||
᫨ V1 = V2 = V ¨ 1 = 2 = , â® ¤«ï «î¡®£® ¡®à |
¨¤¥ªá®¢ i; j; r; s |
|||||||||||
|
T 2(g)ijT 1(g)rs = is jr : |
(14) |
||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g2G |
|
|
|
|
dim V |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì B : V1 ! V2 { ¯à®¨§¢®«ìë© ®¯¥à â®à, ¨¬¥î騩 |
||||||||||||
¢ í⮩ ¯ ॠ¡ §¨á®¢ ¬ âà¨æã B = (bij). ®£¤ ¬ âà¨æ |
¨¬¥¥â ¢ í⮩ ¯ ॠ|
|||||||||||
¡ §¨á®¢ ¬ âà¨æã, ¢ ª®â®à®© ¬¥á⥠i; r á⮨â |
|
|||||||||||
1 |
|
X X |
|
|||||||||
|
|
|
|
T 2(g)ijbjs |
T 1(g)rs |
: |
|
|||||
|
jGj |
|
|
|||||||||
|
g2G j;s |
|
||||||||||
᫨ 1; 2 ¥ íª¢¨¢ «¥âë, â® = 0 ¤«ï «î¡®© ¬ âà¨æë B. ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ bj;s = 1 ¨ ¢á¥ ®áâ «ìë¥ í«¥¬¥âë B ã«¥¢ë¥, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥á⢮ (13).
® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ ¯® á«¥¤á⢨î 4.16
1 |
X X |
T 2(g)ijbjsT 1(g)rs = tr B is |
||||
|
|
|
|
|
|
|
jGj g |
G j;s |
dim V |
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
¥àï bjs = j;j0 s;s0 ¯®«ãç ¥¬ (14).
38 |
4. |
||||
|
ãáâì L { ¯à®áâà á⢮ ¢á¥å ª®¬¯«¥ªáëå äãªæ¨© : G ! C. ᫨ |
||||
; |
2 L, â® ¯®«®¦¨¬ |
|
|
|
|
|
( ; ) = 1 |
|
|
(g) (g): |
|
|
|
|
X |
||
|
|
|
|
|
|
|
jGj |
g |
2 |
G |
|
|
|
|
|
|
|
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ 1; 2 { ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï á ¬ âà¨æ ¬¨ T 1(g); T 2(g); ¨ í⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¥ íª¢¨¢ «¥âë, â® ¯® (13)
(T 2(g)ij; T 1(g)is) = 0: |
|
(15) |
||
᫨ ¦¥ í⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï à ¢ë, â® |
|
|
|
|
(T 2(g)ij; T 1(g)is) = |
is jr |
: |
(16) |
|
dim V |
||||
|
|
|
||
4. à ªâ¥àë ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï
ãáâì : G ! GL(V ) { ª®¥ç®¬¥à®¥ ª®¬¯«¥ªá®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ª®¥ç- ®© £à㯯ë G.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.18. à ªâ¥à®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï §ë¢ ¥âáï äãªæ¨ï 2 L; ¤«ï ª®â®à®© (g) = tr (g) 2 C:
।«®¦¥¨¥ 4.19. ãáâì : G ! GL(V ) { ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥. ¯à ¢¥¤- «¨¢ë á«¥¤ãî騥 à ¢¥á⢠:
1.(hgh 1) = (g);
2.(1) = dim V ;
3.(g 1) = (g);
4. j (g)j dim V , ¯à¨ç¥¬ ¥á«¨ j (g)j = dim V , â® (g) = E, £¤¥ 2 C { ª®à¥ì ¨§ 1 á⥯¥¨ jGj.
®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥¥¬ (hgh 1) = tr( (h) (g) (h) 1) = tr( (g)) =
(g): ஬¥ ⮣®, (1) = tr 1 = dim V: ª ª ª (g) ã¨â à® ¯® ⥮६¥ 4.5, â® ¯® ⥮६¥ 1.81 ¬ âà¨æ (g) ¢ ¥ª®â®à®¬ ®à⮮ନ஢ ®¬ ¡ §¨áç¥ ¨¬¥¥â
¤¨ £® «ìë© ¢¨¤ diag( 1; : : : ; n), ¯à¨ç¥¬ mj = 1, ¥á«¨ m = jgj. âáî¤ ¢ë⥪ îâ ®áâ «ìë¥ ã⢥ত¥¨ï. 
।«®¦¥¨¥ 4.20. ᫨ = 1 2, â® = 1 + 2 :
â ª, { äãªæ¨ï G ¨ ª« áá å ᮯà殮ëå í«¥¬¥â®¢.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 4.21. ãªæ¨ï 2 L æ¥âà «ì , ¥á«¨ (hgh 1) = (g), â. ¥. ï¥âáï äãªæ¨¥© ª« áá å ᮯà殮ëå í«¥¬¥â®¢ ¢ G.
¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® æ¥âà «ìë¥ äãªæ¨¨ ®¡à §ãîâ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¢ H, à §¬¥à®áâì ª®â®à®£® à ¢ ç¨á«ã ª« áᮢ ᮯà殮ëå í«¥¬¥â®¢ ¢ G.
¥®à¥¬ 4.22. ãáâì { å à ªâ¥à ¥à¯¨¢®¤¨¬®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ª®¥ç- ®© £à㯯ë G. ®£¤ ( ; ) = 1. ᫨ 1; 2 { ¤¢ ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¥íª¢¨¢ «¥â- ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï G, â® ( 1 ; 2 ) = 0.
4. |
39 |
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì (g) § ¤ ¥âáï ¥ª®â®à®© ¬ âà¨æ¥© T (g) = (T (g)ij) 2 GL(n; C): ® á«¥¤á⢨î 4.17
( ; ) =
1 |
X X |
X |
X |
1 |
|
X |
|
|
|
|
|
|
||
|
( |
T (g)ss)( |
T (g)jj |
) = |
|
|
|
T (g)ss |
T (g)jj |
= |
|
|||
jGj |
|
jGj |
|
|||||||||||
g2G s |
j |
s;j |
g2G |
X |
sj sj |
|
||||||||
|
|
|
|
(T (g)ss; T (g)jj) = |
= 1: (17) |
|||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
s;j |
|
|
|
|
s;j |
dim V |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
«®£¨ç® ¯à®¢¥àï¥âáï ¢â®à®¥ à ¢¥á⢮.
¥®à¥¬ 4.23. ãáâì ª®¥ç®¬¥à®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ª®¥ç®© £à㯯ë G à §«®¦¥® ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© = 1 + + k:᫨ j { å à ªâ¥à ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï j ¨ rj { ¥£® ªà â®áâì, â® ( ; j) = rj.
¥®à¥¬ 4.24. ãáâì n1; : : : ; ns { à §¬¥à®á⨠¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ª®¬¯«¥ªá- ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ª®¥ç®© £à㯯ë G. ®£¤ jGj = n21 + + n2s.
®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¯à®áâà á⢮ V á ¡ §¨á®¬ eg; g 2 G. ¬¥- ¥âáï ॣã«ï஥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ : G ! V , (g)eh = egh. âáî¤ (1) =
jGj; (g) = 0; ¥á«¨ g 6= 1: ਠí⮬ |
|
|
|
|
|||||
1 |
X |
1 |
|
|
|
||||
( ; j) = |
|
g |
G (g) |
j(g) |
= |
|
jGj |
j(1) |
= dim Vj = nj: |
jGj |
jGj |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
â ª, = n1 1 + + ns s: «¥¤®¢ ⥫ì®, jGj = (1) = n21 + + n2s:
ãáâì ª ª ¨ ¢ëè¥, H { ¯à®áâ àá⢮ ¢á¥å æ¥âà «ìëå |
äãªæ¨© G. |
¥®à¥¬ 4.25. ãáâì : G ! GL(V ) { ª®¥ç®¬¥à®¥ |
ª®¬¯«¥ªá®¥ ¯à¥¤- |
¢®¤¨¬® ¨ ¨¬¥¥â à §¬¥à®áâì n, â® f = jGnj |
(f;P ): |
|
|||||||
áâ ¢«¥¨¥ £à㯯ë G ¨ f 2 H. ®«®¦¨¬ f |
= |
g2G f(g) (g): ᫨ ¥¯à¨- |
|||||||
®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥¥¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
(h) f (h 1) = |
(h)f(g) (g) (h 1) = |
|
|
|
|
|
|
||
|
g2G |
X |
|
|
|
X |
|
||
|
|
f(g) (hgh 1) = |
f(g) (g) = f : |
||||||
|
|
g2G |
|
|
|
g2G |
|
||
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® á«¥¤á⢨î 4.16 |
f (x) = x ¤«ï ¥ª®â®à®£® ª®¬¯«¥ªá®£® |
||||||||
ç¨á« . âáî¤ |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tr( f ) = dim V = |
f(g) (g) = jGj(f; |
|
): |
|
|||||
|
|
||||||||
g2G
¥®à¥¬ 4.26. ãªæ¨¨ 1; : : : ; s á®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨á ¯à®áâà á⢠H:
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f 2 H ¨ f ? j ¤«ï ¢á¥å j. ®£¤ f = 0 ¯® ¯à¥- ¤ë¤ã饩 ⥮६¥ ¤«ï «î¡®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï . ç áâ®áâ¨, ¯à¨ ॣã«ï஬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¨¬¥¥¬
X |
|
X |
||
f (e1) = |
f(g) |
(g)e1 = |
f(g) |
eg = 0: |
g2G |
|
g2G |
||
40 |
4. |
«¥¤®¢ ⥫ì®, f(g) = 0:
«¥¤á⢨¥ 4.27. ¨á«® ª« áᮢ ᮯà殮ëå í«¥¬¥â®¢ £à㯯ë G à ¢® ç¨á«ã ¥íª¢¨¢ «¥âëå ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© £à㯯ë G.
¥®à¥¬ 4.28. î¡®¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬®¥ ª®¥ç®¬¥à®¥ ª®¬¯«¥ªá®¥ ¡¥«¥¢®© £àã¯¯ë ®¤®¬¥à®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì § ¤ ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¡¥«¥¢®© £à㯯ë G ¢ ¯à®áâà á⢥ V . ᫨ g 2 G, â® ®¯¥à â®à (g) ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®© ᮡáâ¢¥ë© ¢¥ªâ®à á ᮡáâ¢¥ë¬ § 票¥¬ g. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®¤¯à®áâà á⢮ U ¢ V , á®áâ®ï饥 ¨§ ã«ï ¨ ¢á¥å ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¤«ï (g) á ᮡáâ¢¥ë¬ § ç¥-
¨¥¬ g ®â«¨ç® ®â ã«ï, ¯à¨ç¥¬ ¢ ᨫ㠡¥«¥¢®á⨠G ®® ¨¢ ਠâ®. «¥¤®- ¢ ⥫ì®, U = V . ª ª ª g { «î¡®© í«¥¬¥â ¨§ G, â® ¤«ï «î¡ëå g 2 G; v 2 V
¨¬¥¥¬ gv = gv: âáî¤ |
¢ë⥪ ¥â ã⢥ত¥¨¥. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï 横«¨ç¥áª®© £à㯯ë G = hain ®¤®¬¥àë ¨ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¨¬¥îâ ¢¨¤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
k(a) = exp( |
|
|
|
|
); |
k = 0; : : : ; n 1: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ਠí⮬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
k = exp( |
); |
|
|
k = 0; : : : ; n 1: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
âáî¤ ¯à¨ k = k0 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
( k ; k0 ) = |
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|
|
|
|
||
|
1 |
n 1 exp( |
2 ik |
|
) exp( |
|
|
|
2 ik0 |
) = |
1 |
n 1 exp( |
2 i(k k0) |
) = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
X |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||
|
|
j=0 |
|
|
|
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|
|
|
|
=0 |
|
|
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|
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|
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|
|||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
1 |
|
exp( |
2 i(k k0) |
n) |
|
1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
= 0: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
exp( |
2 i(k k0) |
) |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
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|||||||||||||
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|
n |
|
|
|
|||||
ਠk = k0 |
|
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|
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|
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|
||
|
|
|
|
|
1 n 1 |
|
|
|
|
2 ik |
|
|
2 ik |
|
1 n 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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X |
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exp( n |
) exp( n |
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( k ; k ) = n |
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) = n 1 = 1: |
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=0 |
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j=0 |
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¥®à¥¬ 4.29. ᥠ®¤®¬¥àë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï £à㯯ë G ᢮¤ïâáï ª ®¤- ®¬¥àë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ G=G0.
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