ММФ / литература / полезно очень

¨¡® d 6= 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ (5) ¯®«ãç ¥¬, çâ® a1f1 + + amfm = 0; ®âªã¤ a1 = = am = 0, ¨¡® í«¥¬¥­âë f1; : : : ; fm ­¥§ ¢¨á¨¬ë.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.7. ¥«®ç¨á«¥­­ë¥ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï áâப (á⮫¡æ®¢) 楫®ç¨á«¥­­®© ¬ âà¨æë á®áâ®ïâ ¨§ ¤¢ãå ⨯®¢ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨©:

㬭®¦¥­¨¥ á«¥¢ (á¯à ¢ ) ­ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¬ âà¨æë E + aEij; a 2 Z,㬭®¦¥­¨¥ áâப¨ (á⮫¡æ ) ­ -1.

¯à ¦­¥­¨¥ 2.8. ®¢¥àè ï 楫®ç¨á«¥­­ë¥ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ - ­¨ï áâப (á⮫¡æ®¢) ¬®¦­® ¯¥à¥áâ ¢¨âì «î¡ë¥ ¤¢¥ áâப¨ (á⮫¡æ ).

¥®à¥¬ 2.9. ãáâì A 2 Mat(n m; Z). ¥«®ç¨á«¥­­ë¬¨ í«¥¬¥­â à- ­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬¨ áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ¬®¦­® A ¯à¨¢¥á⨠ª ¤¨ £®­ «ì- ­®¬ã ¢¨¤ã diag(d1; d2; : : : ); di 0.

®ª § ⥫ìá⢮. ®¦­® áç¨â âì, çâ® A = (aij) 6= 0. ãáâì

(A) = minfjaijj jaij 6= 0g:

ij

।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ âà¨æã A 楫®ç¨á«¥­­ë¬¨ í«¥¬¥­â à­ë¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ - ­¨ï¬¨ áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ¯à¨¢¥«¨ ¢ â ª®¬ã ¢¨¤ã, çâ® ¤ «¥¥ (A) 㬥­ìè¨âì

­¥«ì§ï. ¥à¥áâ ¢«ïï áâப¨ ¨ á⮫¡æë ¨ 㬭®¦ ï, ¥á«¨ ­¥®¡å®¤¨¬®, ­ -1, ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® (A) = a11:

¥¬¬ 2.10. a11 ¤¥«¨â a1j; ai1 ¤«ï ¢á¥å i; j.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì, ­ ¯à¨¬¥à, a11 ­¥ ¤¥«¨â a21, â. ¥. a21 = qa11 + r; £¤¥ 0 < r < a11. ëç¨â ï ¨§ ¢â®à®© áâப¨ ¯¥à¢ãî, 㬭®¦¥­­ãî ­ q,

áᬮâਬ 楫®ç¨á«¥­­ãî ¬ âà¨æã A = (aij) 2 Mat(k n; Z): ¥«®ç¨á«¥­­ë¥ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï áâப A ᮮ⢥âáâ¢ãîâ í«¥¬¥­â à­ë¬ ¯à¥®¡- à §®¢ ­¨ï¬ ¡ §¨á g1; : : : ; gk; 楫®ç¨á«¥­­ë¥ í«¥¬¥­â à­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï á⮫¡æ®¢ A ᮮ⢥âáâ¢ãîâ í«¥¬¥­â à­ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï¬ ¡ §¨á f1 : : : ; fn.® ⥮६¥ 2.9 ¨§¬¥­ïï ®¡ ¡ §¨á , ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® g1 = d1f1; : : : ; gk = dkfk:

22 2.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.12. ¡¥«¥¢ £à㯯 A ª®­¥ç­® ¯®à®¦¤¥­ , ¥á«¨ áãé¥áâ- ¢ãîâ â ª¨¥ í«¥¬¥­âë a1; : : : ; an 2 A; çâ® ª ¦¤ë© í«¥¬¥­â x 2 A ¨¬¥¥â ¯à¥¤-

F = Z Z

| {z }

n

롥६ ¢ F ¡ §¨á e1; : : : ; en ¨ § ¤ ¤¨¬ £®¬®¬®à䨧¬ : F ! A, ¯à¨ ª®â®à®¬

nn

XX

( xiei) = xiai:

i=1 i=1

¥âà㤭® ¢¨¤¥âì, ç⮠ï¥âáï í¯¨¬®à䨧¬®¬. ãáâì B = ker . ® ⥮-

६¥ 2.11 ¬®¦­® áç¨â âì, çâ® d1e1; : : : ; dkek á®áâ ¢«ïîâ ¡ §¨á B, £¤¥ d1; : : : ; dk { ­ âãà «ì­ë¥ ç¨á« , k n. ®«®¦¨¬

® ⥮६¥ 1.117 £à㯯 (7) à §« £ ¥âáï ¢ ¯àï¬ãî á㬬㠯ਬ à­ëå 横«¨- ç¥áª¨å £à㯯.

᫨ k < i n, â® Ni = 0, ¨ ¯®í⮬ã Zei=Ni ' Z: â ª, ¯® (6) ¯®«ãç ¥¬, çâ® A ' ( iCi) H; £¤¥ Ci { ¯à¨¬ à­ë¥ 横«¨ç¥áª¨¥ £à㯯ë, ¨

H = Z Z:

|{z }

n k

® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 2.2 £à㯯 H ᢮¡®¤­ .

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.15. à㯯 G ­¥ ¨¬¥¥â ªàã祭¨ï, ¥á«¨ ¢ ­¥© ­¥â ­¥âà¨- ¢¨ «ì­ëå, â. ¥. ®â«¨ç­ë© ®â 1, í«¥¬¥­â®¢ ª®­¥ç­®£® ¯®à浪 .

«¥¤á⢨¥ 2.16. ®­¥ç­® ¯®à®¦¤¥­­ ï ¡¥«¥¢ £à㯯 ¡¥§ ªàã祭¨ï ᢮- ¡®¤­ .

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.17. ®¤£à㯯 H Rn ¤¨áªà¥â­ , ¨«¨ à¥è¥âª , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï ®ªà¥áâ­®áâì ­ã«ï U, çâ® U \ H = 0.

¥®à¥¬ 2.18. ¨áªà¥â­ ï ¯®¤£à㯯 ¢ Rn ᢮¡®¤­ .

®£¤ S ï¥âáï ª®¬¯ ªâ®¬, ¨, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥, S \ G ª®­¥ç­®.

«ï «î¡®£® ­ âãà «ì­®£® ç¨á« d ¯®«ãç ¥¬

de1 = [d 2]e2 + + [d k]ek + ( 2e2 + + kek);

£¤¥ 2e2 + + kek 2 S \ G. ®í⮬㠭 ©¤ãâáï â ª¨¥ ­ âãà «ì­ë¥ ç¨á« d1 > d2, çâ® d1e1 d2e1 «¥¦¨â ¢ ¯®¤£à㯯¥, ¯®à®¦¤¥­­®© e2; : : : ; ek, â. ¥.

(d1 d2)e1 = m2e2 + + mkek; mj 2 Z:

â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¡ §¨á ¢ G.

p

¯à ¦­¥­¨¥ 2.20. ãáâì G { ¯®¤£à㯯 ¢ R, ¯®à®¦¤¥­­ ï 1; 2: 㤥⠫¨ ®­ ¯«®â­ ¢ R?

஬¥ ⮣®, ¤«ï ª ¦¤®© à¥è¥âª¨ ¤®¯ãáâ¨¬ë ¯®¤£à㯯ë à áᬮâ७­ëå £à㯯 ᨬ¬¥â਩ , 㪠§ ­­ëå ¢ëè¥.

3.à¥å¬¥à­ë© á«ãç ©

áᬮâਬ ⥯¥àì âà¥å¬¥à­ë© á«ãç ©. ª ¨ ¢ëè¥ à áᬮâਬ áâ஥­¨¥ ª®­¥ç­ëå ¯®¤£à㯯 ¢ SO(3; R), § ⥬ ¢ O(3; R) ¨, ­ ª®­¥æ, ¢®§¬®¦­ë¥ à¥è¥âª¨

¨¨å £à㯯ë ᨬ¬¥â਩. ¬ ¯®âॡã¥âáï

¥®à¥¬ 3.14. ãáâì g 2 O(3; R), ¯à¨ç¥¬ hgh 1 2 GL(3; Z). ®£¤ áã- é¥áâ¢ã¥â â ª ï ¬ âà¨æ u 2 SO(3; R), çâ®

det g + 2 cos = tr(ugu 1) = tr g = tr(hgh 1) 2 Z:

ª ª ª det g = 1, â® 2 cos 2 Z: âáî¤ ª ª ¨ ¢ëè¥ ¯®«ãç ¥¬ âॡ㥬®¥ ã⢥ত¥­¨¥.

¡®§­ 祭¨¥ 3.15. ¡®§­ 稬 ç¥à¥§ S âà¥å¬¥à­ãî áä¥àã ¥¤¨­¨ç­®£® à - ¤¨ãá ¢ âà¥å¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ á 業â஬ ¢ ­ã«¥. ।¯®«®¦¨¬, çâ® { ª®­¥ç­ ï ¯®¤£à㯯 ¢ SO(3; R). ®£¤ ª ¦¤ë© ­¥¥¤¨­¨ç­ë© í«¥¬¥­â ¨§ ï¢-

«ï¥âáï ¢à 饭¨¥¬ ®â­®á¨â¥«ì­® ­¥ª®â®à®© ®á¨ ¢ ¯¥à¯¥­¤¨ªã«ïà­®© ¯«®áª®á⨠­ 㣮« ¨§ ⥮६ë 3.14. ¥à¥á¥ç¥­¨¥ í⮩ ®á¨ á S á®á⮨⠨§ ¤¢ãå â®ç¥ª.

¡®§­ 稬 ç¥à¥§ X { ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å â®ç¥ª ¨§ S ¤«ï ¢á¥å ­¥¥¤¨­¨ç­ëå í«¥¬¥­â®¢ ¨§ .

।«®¦¥­¨¥ 3.16. ãáâì x 2 X ¨ g 2 . ®£¤ g(x) 2 X.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì l { ­¥¯®¤¢¨¦­ ï ®áì ¤«ï h 2 n 1, ¨ x 2 l \ S.®£¤ ghg 1(g(l)) = g(l), â. ¥. g(l) { ­¥¯®¤¢¨¦­ ï ®áì ¤«ï ghg 1 2 n1, ¯à¨ç¥¬

g(x) 2 g(l) \ S:

28 3.

।«®¦¥­¨¥ 3.17. ãáâì x 2 X ¨ x { áâ ¡¨«¨§ â®à x ¢ , â. ¥. ¬­®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å g 2 , çâ® g(x) = x. ®£¤ Hx { 横«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯®à浪 1, 2, 3, 4, 6. ਠí⮬ ¥á«¨ = x[g2 x[: : :[gm x { à §¡¨¥­¨¥ ­ «¥¢ë¥ ᬥ¦­ë¥ ª« ááë ¯® x, â® ®à¡¨â x ¯à¨ ¤¥©á⢨¨ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª m

¨ á®á⮨⠨§ x; g2(x); : : : ; gm(x). ç áâ­®áâ¨, j j = mj xj: â ¡¨«¨§ â®à gi(x) à ¢¥­ gi xgi 1.

®ª § ⥫ìá⢮. ®¯®áâ ¢¨¬ gi x í«¥¬¥­â gi(x).

¡®§­ 祭¨¥ 3.18. ¡®§­ 稬 ç¥à¥§ M ¬­®¦¥á⢮ ¯ à (x; g), £¤¥ g 2 xn

1.

ª ª ª ª ¦¤®¬ã g 2 n1 ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¤¢¥ â®çª¨ ¨§ X, â® jMj = 2(j j 1). ¤à㣮© áâ®à®­ë, X à §¡¨¢ ¥âáï ­ ®à¡¨âë X1; : : : ; Xk ¤¥©áâ¢¨ï £à㯯ë. ® ¯à¥¤«®¦¥­¨î 3.17 ç¨á«® ¯ à (x; g), £¤¥ x ¯à®¡¥£ ¥â ®¤­ã ®à¡¨âã Xi ¯®à浪 mi à ¢­® mi(j ij 1), £¤¥ i = xi ¤«ï ­¥ª®â®à®£® í«¥¬¥­â xi 2 Xi.஬¥ ⮣®, mij ij = j j. â ª,

2(j j 1) = m1(j 1j 1) + + mk(j kj 1):

®¦­® áç¨â âì, çâ® 2 j 1j j 2j j 3j. ᫨ j 1j 3; â® ¢ à ¢¥­á⢥ (10) ¯à ¢ ï ç áâì ¬¥­ìè¥ 1, «¥¢ ï ¡®«ìè¥. «¥¤®¢ ⥫쭮, j 1j = 2 ¨

¥¯®á।á⢥­­ë© ¯¥à¥¡®à ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢®§¬®¦­ë «¨èì á«¥¤ãî騥 á«ã- ç ¨:

¨á. 1

в¬¥в¨¬, зв® гª § ­­л¥ £аг¯¯л ¤¥©бв¢¨в¥«м­® а¥ «¨§говбп ª ª £аг¯¯л б¨¬¬¥ва¨© ­¥ª®в®але ¬®«¥ªг«, б¬. ¨бг­®ª 2. ª £аг¯¯®© б¨¬¬¥ва¨© ¬®«¥- ªã«ë H3C CCl3 ï¥âáï 横«¨ç¥áª ï £à㯯 ¯®à浪 3, £à㯯®© ᨬ¬¥â-

਩ ¬®«¥ªã«ë C26 ï¥âáï £à㯯 ¤¨í¤à D3, £à㯯®© ᨬ¬¥â਩ ¬®«¥ªã«ë ¬¥â ­ CH4 ï¥âáï £à㯯 â¥âà í¤à T , £à㯯®© ᨬ¬¥â਩ ¬®«¥ªã«ë £¥ª- á ä®à¨¤ ãà ­ UF4 ï¥âáï £à㯯 ®ªâ í¤à T .

¨á. 2

«ï § ¢¥à襭¨ï à áᬮâ७¨ï ®¯¨è¥¬ â®ç¥ç­ë¥ £à㯯ë, á®áâ®ï騥 ­¥ ⮫쪮 ¨§ ¢à 饭¨ï.

¡®§­ 祭¨¥ 3.20. ¡®§­ 稬 ç¥à¥§ j 業âà «ì­ãî ᨬ¬¥âà¨î ¢ âà¥å- ¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥, â. ¥. j(x) = x ¤«ï ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ x.

।«®¦¥­¨¥ 3.22. ᫨ j 2 , â® = A hji2:

।¯®«®¦¨¬, çâ® j 2= ¨ n A = jM, £¤¥ M SO(3; R).

।«®¦¥­¨¥ 3.23. AM = MA = M; M2 = A2 = A: ç áâ­®áâ¨,

G = A [ M ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ¢ SO(3; R), ¯à¨ç¥¬ A { ¯®¤£à㯯 ¨­¤¥ªá 2 ¢ G.

¡®§­ 祭¨¥ 3.24. à㯯 G ¨§ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 3.23 ®¡®§­ ç ¥âáï ç¥à¥§

(G; A).

ᨫã ⥮६ë 3.19 ¨ ¯à¥¤«®¦¥­¨ï 3.23 á¯à ¢¥¤«¨¢

¥®à¥¬ 3.25. ãáâì { ª®­¥ç­ ï ¯®¤£à㯯 ¢ O(3; R), ­¥ «¥¦ é ï ¢ SO(3; R). ®£¤ { ®¤­ ¨§ á«¥¤ãîé¨å £à㯯:

1.hain hji2;

2.Dn hji2;

3.T hji2;

4.O hji2;

5.I hji2;

6.(hai2n; ha2in);

7.(Dn; hcin);

8.(D2n; Dn);

9.(O; T ):

®§¬®¦­ë¥ ¬­®£®£à ­­¨ª¨, ¢®§­¨ª î騥 ­ ९¥à¥ f1; f2; f3 㪠§ë¢ îâáï ¢ ¨áã­®ª 3.