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(i1; : : : ; ik) 1 = ( (i1); : : : ; (ik)):
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®ª § ⥫ìá⢮. (i1; : : : ; ik) = (i1; i2)(i2; i3) (ik 1; ik):
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.22. ãáâì i1; : : : ; in { ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì à §«¨çëå ç¨- ᥫ ¨§ Xn. ¢¥àᨥ© ¢ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠§ë¢ ¥âáï â ª ï ¯ à is; it,
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®ª § ⥫ìá⢮. 㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ⥮६®© 1.21.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.24. ¥à¥áâ ®¢ª ç¥â , ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â § ª 1, ¢ ¯à®- ⨢®¬ á«ãç ¥ ® ¥ç¥â . ¥à¥§ An ®¡®§ ç ¥âáï ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ç¥âëå ¯¥à¥áâ ®¢®ª ¨§ Sn.
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£à㯯®©, ¥á«¨ ¢¬¥áâ¥ á «î¡ë¬¨ ¤¢ã¬ï ¥£® í«¥¬¥â ¬¨ ®® ᮤ¥à¦¨â ¨å ¯à®¨§- ¢¥¤¥¨¥, ¨ á ª ¦¤ë¬ ᢮¨¬ í«¥¬¥â®¬ H ᮤ¥à¦¨â ¥£® ®¡à âë©.
।«®¦¥¨¥ 1.27. ᫨ H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ |
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í«¥¬¥â G, â® 1 2 H. |
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í«¥¬¥â®¢ ¥ § ¢¨á¨â ®â à ááâ ®¢ª¨ ᪮¡®ª. |
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(2).
¡à â®, ¯ãáâì ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (2), ¨ y 2 H. ®£¤ y; y 2 H, ®âªã¤ 1 = yy 1 2 H ¯® (2). «¥¥ 1; y 2 H, ®âªã¤ y 1 = 1y 1 2 H ¯® (2). ª®¥æ, ¥á«¨ x; y 2 H, â® x; y 1 2 H ¯® ¤®ª § ®¬ã ¢ëè¥. âáî¤ x(y 1) 1 = xy 2 H ¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 1.4. 
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¯à ¦¥¨¥ 1.31. ᫨ Hi; i 2 I { ¯®¤£àã¯¯ë £à㯯ë G; â® \i2I Hi { ¯®¤£à㯯 £à㯯ë G.
4. |
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¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.32. ãáâì a { í«¥¬¥â £à㯯ë G. «ï ¯à®¨§¢®«ì®£® æ¥-
«®£® ç¨á« n ¯®«®¦¨¬ |
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।«®¦¥¨¥ 1.33. |
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n; m |
2 |
Z |
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ãáâì |
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{ í«¥¬¥â ¥ª®â®à®© £àã¯¯ë ¨ |
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®£¤
an+m = anam; (an)m = anm:
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.34. ãáâì a { í«¥¬¥â ¥ª®â®à®© £à㯯ë. ®à浪®¬ jaj (¨«¨ o(a)) í«¥¬¥â a §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ¨¬¥ì襥 âãà «ì®¥ ç¨á«® n, çâ® an = 1: ᫨ â ª®£® ç¨á« n ¥â, â® £®¢®àïâ, çâ® ¯®à冷ª a à ¢¥ ¡¥áª®¥ç®áâ¨.
।«®¦¥¨¥ 1.35. ãáâì jaj = n < 1; ¨ m 2 Z. «¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:
1.njm (n ¤¥«¨â m);
2.am = 1.
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.36. ãáâì a 2 G. ¥à¥§ hai ®¡®§ 稬 ¬®¦¥á⢮ fanjn 2 Zg ¢á¥å á⥯¥¥© í«¥¬¥â a.
¯à ¦¥¨¥ 1.37. hai ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ¢ G.
4. ¨ª«¨ç¥áª¨¥ £àã¯¯ë ¨ ¨å ¯®¤£à㯯ë
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.38. ãáâì a 2 G. ®¤£à㯯 hai §ë¢ ¥âáï 横«¨ç¥á- ª®© ¯®¤£à㯯®© ¢ £à㯯¥ G, ¯®à®¦¤¥®© í«¥¬¥â®¬ a. à㯯 G §ë¢ ¥âáï
横«¨ç¥áª®© á ¯®à®¦¤ î騬 (®¡à §ãî騬) í«¥¬¥â®¬ a; ¥á«¨ hai = G.
ਬ¥àë 1.39. ®ª § âì, çâ®
1.£à㯯 Z ï¥âáï 横«¨ç¥áª ï á ¯®à®¦¤ î騬 í«¥¬¥â®¬ 1 (¨«¨ -1);
2.£à㯯 Un ª®¬¯«¥ªáëå ª®à¥© n-®© á⥯¥¨ ¨§ 1 ï¥âáï 横«¨ç¥áª®© £à㯯®© á ¯®à®¦¤ î騬 í«¥¬¥â®¬
exp 2ni = cos 2ni + i sin 2ni:
।«®¦¥¨¥ 1.40. ãáâì a { í«¥¬¥â ¥ª®â®à®© £à㯯ë. ®£¤ jhaij =
jaj:
®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ ar = am ¯à¨ ¥ª®â®àëå r < m, â® am r = 1 ¨ jaj = n < 1: í⮬ á«ãç ¥ hai = f1; a; a2; : : : ; an 1g: 
¡®§ 票¥ 1.41. ᫨ jaj = n ¢ ãá«®¢¨¨ ¯à¥¤«®¦¥¨ï 1.40, ⮠横«¨- ç¥áªãî £à㯯ã, ¯®à®¦¤¥ãî í«¥¬¥â®¬ a, ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì hain.
¥®à¥¬ 1.42. ®¤£à㯯 横«¨ç¥áª®© £à㯯ë á ¬ ï¥âáï 横«¨ç¥á- ª®©.
10 1.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 横«¨ç¥áª®© £à㯯ë G = hai.᫨ H = 1, â® ã⢥ত¥¨¥ ®ç¥¢¨¤®. ãáâì H ᮤ¥à¦¨â ¥¥¤¨¨çë© í«¥-
¬¥â am; m = 0. ᫨ m < 0, â® H ᮤ¥à¦¨â ¨ í«¥¬¥â a m; |
|
m > 0. 롥६ |
|||
6 |
m |
|
r |
2 H; r 2 Z, |
|
â ª®¥ ¨¬¥ì襥 âãà «ì®¥ ç¨á«® m, çâ® b = a 2 H. ᫨ a |
|
||||
â®, ¤¥«ï r á ®áâ ⪮¬ |
m, ¯®«ãç ¥¬ r = sm + q; 0 q < m. |
ਠí⮬ |
|||
aq = ar sm = ar(am) s 2 H ¯® ¯à¥¤«®¦¥¨î 1.33, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã m, ¥á«¨ q > 0.
«¥¤á⢨¥ 1.43. ãáâì m1; : : : ; mn 2 Z, ¨ d { ç¨á¥« m1; : : : ; mn. ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ æ¥«ë¥ ç¨á« u1; : : : ; un 2 Z, çâ® m1u1 + + mnun = d.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì H = Zm1 + + Zmn. ®£¤ |
H { ¯®¤£à㯯 ¢ |
|||||||
Z, ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, H = Zd. áâ ¥âáï ã¡¥¤¨âìáï, çâ® d = (m1; : : : ; mn). |
||||||||
¥®à¥¬ 1.44. ãáâì G = hain ¨ H { ¯®¤£à㯯 |
¢ G. ®£¤d áãé¥áâ¢ã¥â |
|||||||
¨ ¯à¨â®¬ ¥¤¨á⢥®¥ â ª®¥ ç¨á«® |
d |
, ¤¥«ï饥 |
n |
, çâ® |
|
|
n |
|
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H = ha id : |
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k |
¤«ï ¥ª®â®à®£® |
|
®ª § ⥫ìá⢮. ® ⥮६¥ 1.42 ¯®«ãç ¥¬ H = ha |
i d |
i: |
||||||
0 k < n. ®«®¦¨¬ d = (n; k). áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® H = ha |
||||||||
¯à ¦¥¨¥ 1.45. ¯¨á âì ¢á¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¢ hai12. |
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|||||
5. ¬¥¦ë¥ ª« ááë ¨ ⥮६ |
|
£à ¦ |
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|||||
¯à¥¤¥«¥¨¥ 1.46. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G, ¨ g 2 G. ¥¢ë¬ ᬥ¦ë¬ ª« áᮬ gH §ë¢ ¥âáï ¯®¤¬®¦¥á⢮ fghjh 2 Hg ¢ G.
¯à ¦¥¨¥ 1.47. ©â¨
1. «¥¢ë¥ ᬥ¦ë¥ ª« ááë GL(n; C) ¯® SL(n; C);
2.«¥¢ë¥ ᬥ¦ë¥ ª« ááë Z ¯® nZ;
3.«¥¢ë¥ ¨ ¯à ¢ë¥ ᬥ¦ë¥ ª« ááë Sn ¯® Sn 1.
¯à ¦¥¨¥ 1.48. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G ¨ x; y 2 G: ®ª § âì, çâ® á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï íª¢¨¢ «¥âë:
1.xH = yH;
2.x 1y 2 H.
।«®¦¥¨¥ 1.49. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 |
¢ £à㯯¥ G ¨ x 2 G. ®£¤ |
jHj = jxHj. |
|
।«®¦¥¨¥ 1.50. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 |
¢ £à㯯¥ G ¨ x; y 2 G, ¯à¨ç¥¬ |
y 2 xH. ®£¤ xH = yH. |
|
®ª § ⥫ìá⢮. á®, çâ® yH xH. ® ãá«®¢¨î y = xh ¤«ï ¥ª®â®- ண® h 2 H. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï «î¡®£® u 2 H ¯®«ãç ¥¬ xu = y(h 1u); £¤¥ h 1u 2 H. âáî¤ xH yH, â. ¥. xH = yH. 
«¥¤á⢨¥ 1.51. ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ £à㯯¥ G. ®£¤ ¤¢ «¥¢ëå (¯à - ¢ëå) ᬥ¦ëå ª« áá G ¯® H «¨¡® ᮢ¯ ¤ îâ, «¨¡® ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï.
®ª § ⥫ìá⢮. ®á¯®«ì§®¢ âìáï ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ 1.50.
¥®à¥¬ 1.52 ( ¥®à¥¬ £à ¦ ). ãáâì H { ¯®¤£à㯯 ¢ ª®¥ç®© £à㯯¥ G. ®£¤ jGj = jHjj, £¤¥ j { ç¨á«® «¥¢ëå (¯à ¢ëå) ᬥ¦ëå ª« áá G ¯® H.