Техника релаксации
Для каждого ребра (u,v) храним d[v] – верхнюю оценку кратчайшего пути из s в v.
Initialize (G,s){
for (для v V) { d[v] ← ∞
Π[v] ← NULL;
}
d[s] ← 0;
}
Релаксация ребра (u,v):
значение d[v] уменьшается до d[v+w(u,v)]
(если второе второе значение меньше первого)
Relax (u, v, w) {
If (d[v] > d[u] +w(u,v)){ d[v] = d[ u] +w(u,v);
Π[v] ← u;
}
}
Релаксация ребра при поиске кратчайших путей.
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
3 |
|
4 |
Пусть уже найдены оценки |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
кратчайших путей для вершин, |
|
|
2 |
4 |
|
5 |
|
|
3 |
соединенных красным ребром. |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d[8] = 6; |
|
10 |
3 |
3 |
|
5 |
8 |
|
|
1 |
9 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
d[7] = 9 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1 |
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
89 |
|
|
|
|
Релаксация ребра (u, v):
if (d[u] + w(u,v) < d[v]) d[v] = d[u] + w(u,v);
Релаксация ребра (7, 8):
9 + 2 > 6
Релаксация ребра (8, 7):
6 + 2 < 9 d[7] = 8
Алгоритм Дейкстры
Dijkstra(G,w,s){ |
|
|
Initialize(G,s); |
|
|
S ← |
ø; |
|
Q ← |
V; |
//очередь с приоритетами |
While (Q ≠ ø){
u ← Exstract_min(Q); //выбрать ближайшую S ← S U {u};
for (для v Adj[u])
Relax ( u, v, w);
}
}
Пример.
изация с использованием очереди с приоритетами. Приоритет – тек чина найденного расстояния от начальной вершины. Релаксации ергаются прямые и обратные ребра.
|
|
2 |
|
2 |
1 |
|
|
3 |
|
4 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
1 |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
4 |
||||
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
1 |
3 |
|
5 |
8 |
|
|
|
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4
6 
7
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
π |
2 |
5 |
10 |
8 |
6 |
3 |
6 |
2 |
8 |
|
d |
6 |
4 |
1 |
8 |
3 |
2 |
6 |
7 |
10 |
0 |
Очередь
3
5
2
7
1
8
4
9
Реализация с дополнительным массивом -
O(n2)
Массив D[v] содержит стоимость текущего
кратчайшего пути из s в v.
2 |
|
1 |
|
3 |
Пример |
0 |
|
7 |
|
|
|
10 |
6 |
|
2 |
||
|
4 |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3
№S u D[u] D[1] D[2] D[3] D[4]
0 |
{0} |
- |
- 2 |
+∞ +∞ 10 |
||
1 |
{0, 1} |
1 |
2 2 |
5 |
+∞ 9 |
|
2 |
{0, 1, 2} |
|
2 5 |
2 |
5 9 9 |
|
3 |
{0, 1, 2, 3} |
3 9 |
2 |
5 9 9 |
|
|
4 |
{0, 1, 2, 3, 4} |
4 |
9 2 5 |
9 9 |
||
Компьютерная сеть была названа ARPANET, все работы
финансировались
за счёт Министерства обороны США. Затем сеть ARPANET
начала активно
расти и развиваться, её начали использовать учёные из
разных областей
науки. В 1973 году к сети были подключены первые иностранные
организации из Великобритании и Норвегии, сеть стала
международной.
Стоимость пересылки электронного письма по сети ARPANET составляла
50 центов.
В 1984 году у сети ARPANET появился серьёзный соперник,
Национальный фонд науки США (NSF) основал обширную
Межуниверситетскую сеть NSFNet, которая имела
гораздо боЭльшую
пропускную способность (56 кбит/с), нежели ARPANET.
В 1990 году сеть ARPANET прекратила своё
существование, полностью
Кратчайшие пути в ориентированном графе
1.Если в ориентированном графе нет дуг с отрицательным весом, то алгоритм Дейкстры работает точно так же, как и в случае неориентированных графов.
2.Если в ориентированном графе нет циклов с отрицательным весом, то можно применить алгоритм Беллмана – Форда.
2 |
1 |
|
2 3 -3
2
4 |
-2 |
5 |
|
1
3
7 2
2
2
9
-1 3
2
3
2
2
6
|
-1 |
4 |
2 |
|
8 
-1
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
π |
3 |
4 |
8 |
|
4 |
8 |
5 |
9 |
7 |
d |
1 |
2 |
2 |
0 -2 -1 -1 0 |
1 |
||||
И так далее… В конце концов получится…
Floyd-Warshall(M, n) { D(0) M;
for k 1 to n do for i 1 to n do
for j 1 to n do
dij(k) min(dij(k-1), dik(k-1) + dkj(k-1) );
return D(n);
}