Пиотровский

из того, что производная в данной точке обращается в нуль или вовсе не существует, еще не следует, что эта точка обязательно будет точкой экстремума. Поэтому при выявлении экстремальных зна-

точек не существует, то функция экстремумов не имеет); 3). исследовать изменение знака производной при переходе сле-

ва направо через каждую критическую точку х—а, для чего следует дать х значение несколько меньшее, чем а (т. е. х = а — К), а затем несколько большее, чем а (т. е. х = а + h), причем под h подразумевается произвольное достаточно малое положительное число (возникающие здесь варианты представлены в табл. 3.6);

4) вычислить экстремальные значения функции в точке а.

Иногда для установления максимумов и минимумов функции бывает удобнее и проще воспользоваться в т о р ы м д о с т а т о ч -

Исходя из второго достаточного признака сформулируем следующее п р а в и л о исследования функции на экстремум:

ь

1)найти первую и вторую производные;

2)найти критические точки функции;

3)определить знак второй производной: если вторая производная в критической точке положительна, то эта точка является точкой минимума; если вторая производная отрицательна, то рассма-

триваемая точка есть точка максимума; если же вторая производная в критической точке равна нулю, то следует возвратиться к исследованию функции с помощью первой производной (см. табл. 3.7);

4) вычислить экстремальные значения функции в точке а.

4. Выпуклость, вогнутость и точка перегиба кривой. Для опре-

81

Если кривая у — f (х) имеет участки выпуклости и вогнутости, то между ними, очевидно, будет существовать какая-то точка, которая не обладает свойствами соседних промежутков. Такая точка называется точкой перегиба (точка В на рис. 31). Поскольку по обе стороны от точки перегиба направления выпуклости различны, зна-

3) исследовать изменение знака второй производной при переходе слева направо через каждую критическую точку II рода х — Ь,

то график функции имеет точку перегиба; если же знак /" (х) не

вой, если расстояние точки М от прямой А стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат. Примером г о р и з о н т а л ь н о й асимптоты может служить ось Ох на рис. 9, примером в е р т и к а л ь н о й асимптоты является ось Оу на том же-рисунке. Кроме того, могут существовать и н а- к л о н н ы е асимптоты.

Для выявления вертикальных асимптот необходимо найти точки бесконечных разрывов, т. е. точки, в которых f (х)-> оо. Взаимное расположение бесконечной ветви кривой и асимптоты определяется

Если же f (х) ни при каком значении х не стремится к бесконечности, то вертикальных асимптот нет.

Чтобы найти "наклонную асимптоту кривой у — f (х), нужно выразить расстояние между точкой М (я; у) и точкой М' (х\ у') прямой А через разность ординат этих точек при одной и той же абсцис-

82

Эта таблица должна включать значения функции в ее характерных точках, к которым относятся точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения функции с осями координат, точки разрыва (если они существуют), а также границы области существования функции. Кроме того, в таблицу вносятся и некоторые дополнительные значения функции. Перенеся найденные точки на чертеж и соединив их плавной кривой, мы получим график исследуемой лингвистической функции.

Проведя исследование функции и представив его результаты в легко обозримой графической форме, мы получаем возможность объективно решить вопрос о соответствии математической модели

еелингвистическому оригиналу.

7.Исследование двух функций, аппроксимирующих распределение информации в тексте. Моделирование распределения информации в тексте осуществляется с помощью двух функций: выражения

где. п — номер буквы в тексте, Н1 — энтропия первой буквы текста, а — коэффициент [23, с. 67], а также показательной функции

Необходимо выяснить, какая из этих зависимостей лучше моделирует распределение информации в тексте. Чтобы сделать возможным использование аппарата исследования функций, будем считать аргумент п в обоих случаях непрерывной величиной.

1) Приведем правую часть соотношения (3.27) к общему знаменателю:

кое, при котором производная /' (п) обращалась бы в нуль, то функция (3.27) не имеет точек экстремума.

84

3) Для установления характера кривой в интервале (0, + оо) (выпуклости или вогнутости) найдем вторую производную. Имеем

Очевидно, что при всех положительных значениях п вторая производная данной функции положительна. Значит, график распреде-

пользоваться формулами (3.25) и (3.26). Угловой коэффициент равен

Поскольку угловой коэффициент асимптоты равен нулю, эта асимптота имеет горизонтальное положение, а ее уравнение принимает вид

Для установления взаимного расположения кривой распределения информации и горизонтальной асимптоты определим разность ординат этой кривой и асимптоты при одном и том же значении п:

Так как полученная разность положительна (величины а, Н1 и п положительны), то горизонтальная асимптота (3.30) расположена под кривой (3.27).

85

Г Л А В А 4

СУММИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

Многие задачи квантитативной лингвистики возникают как задачи вычисления сумм языковых величин, характеризующих тот или иной речевой или диахронический процесс в целом или в его части. Эш задачи решаются с помощью аппарата теории рядов и интегрирования.

§1. Основные понятия теории рядов

1.Числовой ргяд. Если взять множество значений величин информации, приходящихся на первую, вторую и т. д. буквы слова или множество относительных или абсолютных частот, характеризующих употребительность данного лингвистического явления в определенные периоды истории языка, то видно, что из этих множеств можно образовать числовые последовательности, подчиняющиеся

члена ряда при произвольном п называется общиц членом ряда. Обычно общий член ряда задается формулой ип = / («), пользуясь которой, можно сразу написать любой член ряда. Например, в ряде, характеризующем сумму информаций, приходящихся на первую, вторую, ..., п-ю, ... буквы слова, общий член имеет вид

ип — 1п = 10е sn •

Составим из первых членов ряда (4.1) суммы

которые называются частичными суммами данного ряда.

87