Пиотровский

Рассматривая равномерный лингвистический процесс, мы пришли к выводу, что его скорость есть величина постоянная и она остается неизменной при любом значении х и при любом значении ДА:. Иначе обстоит дело при неравномерном процессе. На примере развития употребительности латинского местоимения hie из произведенных нами расчетов видно, что ус р зависит и от момента времени х, и от ДА:. Очевидно, что при одном и том же значении ДА: различ-

Ау

ным моментам времени х соответствуют различные значения д | . С другой стороны, при одном и том же значении х величина отноше-

ния ^ зависит от ДА:, причем чем меньше промежуток ДА:, тем бли_ же величина скорости к мгновенной.

Поэтому при неравномерном движении можно говорить не о скорости материальной точки вообще, а только о скорости в данный

Для обозначения производной функции обычно используются символы у' или у'х или /' (х) (читается: «игрек штрих», «игрек штрих по икс», «эф штрих по икс»). Нахождение производной у'х функции у — f (х) по аргументу х, или, иначе говоря, дифференцирование, можно разбить на следующие этапы:

70

1) нахождение приращения аргумента Дл: и нового (наращенИого) значения функции:

у + Ay = f(x + А*);

2) определение приращения функции Ду.

ty = / (* + А*) — f (*);

3) нахождение отношения приращения функции к приращению

аргумента:

Ау __/(*+Ах)-/(*).

Дл;

Обращаем внимание читателя на то, что в рассмотренных выше примерах вычисление производной (мгновенной скорости диахронических процессов) осуществлялось по только что описанной схеме, которая носит название непосредственного дифференцирования. Однако непосредственное дифференцирование связано с громоздкими вычислениями. Поэтому при определении производной обычно применяют уже готовые стандартные правила и формулы, использование которых значительно упрощает процесс дифференцирования.

Ниже дается перечень таких правил и формул дифференцирования. Использующиеся в них символы расшифровываются следую-

Строгое доказательство правил и формул дифференцирования читатель найдет в книге [28].

§2. Дифференциал

1.Понятие дифференциала и дифференциалы простейших функций. В предыдущем параграфе было показано, что использование производной связано с нахождением приращения функции Ду. Так как последнее представляет собой довольно трудную задачу, то на практике пользуются более простым приближенным значением

Для разъяснения понятия дифференциала воспользуемся сначала конкретной задачей. Пусть соотношение между количеством терминов и терминологических словосочетаний, появляющихся в текстах интересующей нас науки, написанных на германских, романских и славянских языках, с одной стороны, и временем развития этой науки, с другой, описывается функцией

где у — суммарное количество терминов в указанных языках, появившихся за х лет развития данной области знания, а—число слов и словосочетаний, использованных для обозначения исходных по-

73

нятий данной научной области. График этой функции изображен на рис. 30.

Тогда производная функции (3.12) согласно правилам дифферен-

цирования равна

Ух = Зха.

Предположим теперь, что интересующая нас наука существует уже сто лет и мы хотим узнать, на сколько увеличится словарь этой науки за два года. Это увеличение следует

рассматривать как приращение функции

Второе слагаемое меньше первого в 50 раз, а третье — в 7500 раз. Таким образом, среди слагаемых, в сумме составляющих приращение Ау, величина Зх2Дх является г л а в н о й частью приращения функции / (х)=а-\-х3, в то время как сумма ЗхДх2 + Ад;3 = а составляет малозаметный вклад в величину приращения Ау. Поскольку слагаемое Зх2Дх прямо пропорционально (при постоянном х) приращению Ах, его называют главной линейной частью приращения

функции f (х). Эта главная часть приращения, отличающаяся от последнего на бесконечно малую величину, и есть дифференциал функции:

Так как приращение Ах аргумента совпадает с его дифференциалом dx, то отсюда следует, что дифференциал функции равен ее производной, умноженной на дифференциал аргумента, т., е.

Можно показать, что дифференциал функции и ее приращение суть эквивалентные -бесконечно малые величины:

Опираясь на равенство (3.14), мы приходим к новому важному для дальнейшего определению производной. Согласно этому сшреде-

74

терминологии (см. п. 1) эффективность приближенных вычислений с помощью дифференциала.

Определим число терминов на 102-м году существования интересующей нас науки при условии, что на 100-м году ее развития име-

Посмотрим теперь, какую ошибку мы допускаем, взяв дифференциал dy вместо приращения Ду. Для этого воспользуемся точным значением приращения нашей функции за два года:

Ау = ЪхШх + ЗхАхг + Д*3 = 61208.

т. е. всего лишь около 0,11%.

Используя равенство (3.17), можно получить приближенные формулы для вычисления значений некоторых элементарных функций. Приведем формулы, полезные в лингво-статистических и

А?ы будем применять равенство (3.19) при решении вероятностных и лингво-статистических задач. Пусть, например, необходимо возвести в десятую степень вероятность q = 1 — Р (А) = 0,9901 (ср. гл. 6, § 1); тогда имеем:

д10 = (1 — 0.0099)10 = 1 — 10 • 0,0099 = 1 — 0,099 = 0,901.

76

Заметим, что формулой (3.19) следует пользоваться при небольших значениях л и а . Если п > 10, а а > 0,01, то получаемые с помощью (3.19) значения функции будут заметно отличаться от истинных.

2. Если у — ех, то, согласно (3.17),

личных участках текста, возникает необходимость определить ве-

личину

/ ( п ) =

где s = 0,21 (см. табл. 1.5 на стр. 41), an — номер буквенной позиции — аргумент функции / (п).

Тогда можно вычислить теоретическое значение информации в каждой буквенной позиции беллетристического текста. Сделаем

Этот результат не очень сильно отличается от точного табличного

денными выше, от этих функций можно взять новую производную

77

Последовательно повторяя описанные операции, можно получить производные третьего, четвертого, ..., п-го порядков и соответственно находить выражения для третьего, четвертого,..., п-то дифференциалов.

§ 3. Исследование функций, аппроксимирующих лингвистические процессы

Чтобы оценить математическую модель, описывающую то или иное лингвистическое явление, необходимо исследовать все особенности изменения функции (или, как говорят, ее поведение) при изменении аргумента. Это исследование осуществляется с помощью таких математических понятий, как непрерывность функции, ее возрастание и убывание, экстремальные значения, выпуклость и вогнутость, точки перегиба.

1. Непрерывность и точки разрыва функции. Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х0, если выполняются следующие условия:

Функция, непрерывная во всех точках некоторого отрезка, называется непрерывной на этом отрезке, а непрерывная во всей области существования — непрерывной функцией (примерами непрерывных функций служат линейная и показательная функции или функции

уsin х и у = cos х; см. гл. 1, § 6).

2. Возрастание и убывание функции. Фунция у = f {х) называется возрастающей в интервале (т, п), если большему значению аргумента в этом интервале соответствует большее значение функции (см. рис. 10). Если же в некотором интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция называется убывающей в этом интервале (см. рис. 11). Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а интервалы возрастания и убывания функции — интервалами монотонности.

Исследование функций опирается на простую связь, существующую между поведением функции в некотором интервале и свойствами ее производной в этом же интервале. Эта связь описывается с помощью трех теорем.

78

3. Экстремальные значения функций. Рассмотрим еще раз часть графика функции

5

/ = г 0 + 2 0>5т(2л£.к/Н-cpft),

k=\

аппроксимирующей распределение информации в 12-буквенном русском слове (см. рис. 25).

Наблюдая за изменением функции, нетрудно заметить, что ординаты кривой возрастают на участках ВС и DE, достигая в точках С и Е максимальной величины по сравнению с ординатами соседних с ними точек. Значение аргумента, при котором функция имеет наибольшую величину, называется точкой максимума, а соответствующее значение функции — максимумом функции (точки С, Е).

Таким образом, функция у — f (х) имеет максимум в точке х — а, если при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство f(a)>f (х).

На участках АВ и CD ординаты точек последовательно убывают, приншая наименьшие значения в точках В и D. Значение аргумента, при котором функция принимает наименьшую величину, называется точкой минимума, а соответствующее значение функции —

минимумом функции.

Иными словами, функция у = / (х) имеет минимум в точке х = а, если для всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство / (а) < / (*).

Нетрудно заметить, что максимум является границей перехода от возрастания функции к ее убыванию, а минимум — от убывания к возрастанию функции. Понятия «максимум» и «минимум» объединяются обычно одним термином — экстремум (или экстремальное значение) функции. Понятие экстремума выступает в качестве локального свойства функции, характеризующего ее поведение лишь в непосредственной близости от данной точки х = а.

При исследовании функций их экстремальные значения опреде-

79